Magma (algebra)

En magma ( groupoid ) i allmän algebra är en algebra som består av en mängd M med en binär operation M × M → M . Utöver kravet på att setet ska vara stängt med avseende på den drift som anges på den finns det inga andra krav på driften och setet.

Termen " magma " föreslogs av Bourbaki . Termen " groupoid " är äldre, myntad av Oistin Ore , men termen hänvisar också till en annan allmän algebraisk struktur, den kategoriteoretiska groupoiden , och används mer allmänt i denna betydelse i nyare litteratur.

Generellt sett studeras vanligtvis inte magma; istället studeras olika typer, som skiljer sig åt i ytterligare införda axiom. Vanligt studerade magmatyper inkluderar följande:

en kvasigrupp är en icke-tom magma där fission alltid är möjlig ;
loop är en kvasigrupp med ett neutralt element ;
semigroup - magma med associativ operation ;
en monoid är en halvgrupp med ett neutralt element ;
en grupp är en monoid med ett inverst element eller, samma som en associativ loop (som alltid är en kvasigrupp);
en abelisk grupp är en grupp med kommutativ funktion .

En magmamorfism är en funktion som relaterar en magma till en magma som bevarar den binära operationen: $f\colon M\to N$ $M$ $N$

f(x\;*_{M}\;y)=f(x)\;*_{N}\;f(y)

där och betecknar de binära operationerna på respektive på . $*_{M}$ $*_{N}$ $M$ $N$

Kombinatorik och parenteser

För det allmänna, icke-associativa fallet kan magmaoperationen upprepas många gånger. Parenteser används för att indikera ordning. Den resulterande strängen består av tecken som anger magmaelement och balanserade parenteser. Uppsättningen av alla möjliga strängar av balanserade parenteser kallas Dyck-språket . Det totala antalet olika sätt att skriva n applikationer av magmaoperatorn ges av det katalanska talet . Till exempel, , vilket motsvarar påståendet att och är de enda möjliga sätten att bestämma ordningen för att tillämpa den binära magmaoperationen två gånger. $C_{n}$ $C_{2}=2$ $(ab)c$ $a(bc)$

För att förenkla notationen och minska antalet använda parenteser används en symbol. För att ange en högre prioritet för utförandet av en operation, använd posten bredvid den. Till exempel, om magmaoperationen är "·", är xy · z en förkortning för ( x · y ) · z . Ytterligare förkortningar är möjliga genom att använda mellanslag. Skriv till exempel xy z wv istället för ( ( x y ) z ) ( w v ) . För mer komplexa uttryck är det naturligtvis svårt att undvika användningen av parenteser. Ett sätt att undvika att använda parenteser är prefixnotation , som dock inte är intuitivt.

Litteratur

Kulikov L. Ya. Algebra och talteori. - M . : Högre skola, 1979. - 559 sid.