Rubiks kubgrupp

Rubiks kubgrupp

Döpt efter	Rubiks kub
Studerade i	gruppteori
Grupporder	4.325200327449E+19
Mediafiler på Wikimedia Commons

Rubiks kubgruppen är en undergrupp av den symmetriska gruppen S 48 , vars element motsvarar transformationer av Rubiks kub . Transformation betyder effekten av att vända något av ansiktena eller en sekvens av varv av ansikten [1] .

Definition

Var och en av rotationerna av Rubiks kubytor kan betraktas som en del av den symmetriska gruppen av uppsättningen av 48 Rubiks kubetiketter som inte är mitten av ytorna. Vi markerar mitten av ansiktena med bokstäver (se figuren) och de återstående etiketterna med siffror från 1 till 48. Nu, genom att vrida motsvarande ytor med 90 ° medurs, kan vi associera elementen i den symmetriska gruppen : $\{L,F,R,B,U,D\}$ $S_{{48}}$

L = (1,3,8,6)(2,5,7,4)(33,9,41,32)(36,12,44,29)(38,14,46,27)

F = (9.11.16.14)(10.13.15.12)(38.17.43.8)(39.20.42.5)(40.22.41.3)

R = (17.19.24.22)(18.21.23.20)(48.16.40.25)(45.13.37.28)(43.11.35.30)

B = (25.27.32.30)(26.29.31.28)(19.33.6.48)(21.34.4.47)(24.35.1.46)

U = (33.35.40.38)(34.37.39.36)(25.17.9.1)(26.18.10.2)(27.19.11.3)

D = (41.43.48.46)(42.45.47.44)(6.14.22.30)(7.15.23.31)(8.16.24.32)

Då definieras Rubiks kubgrupp som en undergrupp genererad av rotationer av sex ytor med 90° [2] : $G$ $S_{{48}}$

G=\langle L,F,R,B,U,D\rangle

Egenskaper

Gruppordningen är [2] [3] [4] [5] [6] $G$

|G|={\dfrac {8!\cdot 12!\cdot 3^{8}\cdot 2^{12}}{3\cdot 2\cdot 2}}=43\ 252\ 003\ 274 \ 489\ 856\ 000=2^{27}\cdot 3^{14}\cdot 5^{3}\cdot 7^{2}\cdot 11.

Låt vara Cayley -grafen för en grupp med 18 generatorer som motsvarar 18 drag av FTM-måttet . $K F$ $G$

Var och en av konfigurationerna kan lösas i högst 20 FTM-drag. Med andra ord, excentriciteten för grafens hörn som motsvarar pusslets "sammansatta" tillstånd är 20 [7] . $\approx 4{,}32\cdot 10^{19}$ $K F$

Diametern på grafen är också 20 [8] . $K F$

Den högsta ordningen av element i är 1260. Till exempel måste sekvensen av drag upprepas 1260 gånger [9] innan Rubiks kub återgår till sitt ursprungliga tillstånd [10] [11] . $G$ $(R\ U^{2}\ D^{{\prime }}\ B\ D^{{\prime }})$

$G$ är inte en abelisk grupp , eftersom t.ex. Med andra ord, inte alla par av element pendlar [12] . $FR\ne RF$

Undergrupper

Varje grupp vars ordning inte överstiger 12 är isomorf till någon undergrupp av Rubiks kubgrupp. Varje icke-abelisk grupp vars ordning inte överstiger 24 är också isomorf till någon undergrupp av Rubiks kubgrupp. Grupperna ( cyklisk grupp av ordning 13) och ( dihedrisk grupp av ordning 26) är inte isomorfa till några undergrupper av Rubiks kubgrupp [13] . $C_{13}$ $D_{26}$

Gruppcenter

Mitten av gruppen består av element som pendlar med varje element i gruppen. Centrum för Rubiks kubgrupp består av två element: identitetstransformationen och superflip [5] [13] .

Cykliska undergrupper

I juli 1981 bevisade Jesper C. Gerved och Torben Maack Bisgaard att Rubiks kubgrupp innehåller element av 73 olika ordningar från 1 till 1260, och hittade antalet element av varje möjlig ordning [14] [15] [16] .

Elementordning	Ansiktsrotationssekvens
fyra	$F$
6	$R^{2}U^{2}$
63	$EN^{-1}$
105	$SV$
1260	${\displaystyle RU^{2}D^{-1}BD^{-1))$

Rubiks kubgrupp innehåller undergrupper av cyklisk ordning

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 14, 15, 16, 18, 20, 21, 22, 24, 28, 30, 33, 35, 36, 40, 42, 44, 45, 48, 55, 56, 60, 63, 66, 70, 72, 77, 80, 84, 90, 99, 105, 110, 112, 120, 126, 402, 126, 402, 154, 165, 168, 180, 198, 210, 231, 240, 252, 280, 315, 330, 336, 360, 420, 462, 495, 504.

Endast ett element (gruppens identitetselement) har ordning 1; den näst sällsynta ordningen är 11 ( 44 590 694 400 element ); cirka 10,6 % av alla element ( 4601524692892926000 ) har ordning 60 [14] [16] .

Tabellen visar exempel på ansiktsrotationssekvenser som motsvarar element av vissa ordningsföljder [11] [17] [18] .

Grupp av rutor

Den kvadratiska gruppen (fyrkantig grupp) är en undergrupp av gruppen som genereras av 180° rotationer av ytor [5] [19] : $G$

G_{sq}=\langle L^2,F^2,R^2,B^2,U^2,D^2\rangle

Ordningen på gruppen av kvadrater är 663 552 [20] .

Gruppen av rutor används i Thistlethwaite-algoritmen , med hjälp av vilken det var möjligt att bevisa att 45 drag räcker för att lösa Rubiks kub.

Rubiks kub supergrupp

Etiketterna som finns i mitten av ytorna på Rubiks kub rör sig inte, utan roteras. På en vanlig Rubiks kub är orienteringen av mitten av ansikten osynlig.

Gruppen av alla Rubiks kubtransformationer med synliga ansiktscentrumorienteringar kallas Rubiks kubsupergrupp. Den är gånger större än gruppen [5] . $\dfrac{4^6}{2}=2048$ $G$

Hamiltonsk cykel på Cayley-grafen

Det finns en Hamiltonsk cykel på Cayley-grafen för en grupp med 12 generatorer som motsvarar rörelser av QTM-metriken . Den hittade cykeln använder rotationer av endast 5 av 6 ytor [21] [22] [23] . $K_q$ $G$

Det finns en motsvarande Lovas gissning för en godtycklig Cayley-graf.

Se även

Anteckningar

↑ Ofta i litteraturen är tre, strängt taget, olika begrepp inte åtskilda - tillståndet (konfigurationen) av Rubiks kub, transformationen och sekvensen av vändningar av ansikten ("rörelser"). Se till exempel Erik D. Demaine, Martin L. Demaine, Sarah Eisenstat, Anna Lubiw, Andrew Winslow. Algoritmer för att lösa Rubiks kuber . - "Konfigurationerna av Rubiks kub, eller motsvarande transformationerna från en konfiguration till en annan, bildar en undergrupp av en permutationsgrupp, genererad av de grundläggande vridrörelserna." Hämtad 14 november 2015. Arkiverad från originalet 3 april 2017. (obestämd) . Det framgår vanligtvis av sammanhanget om vi talar om stater eller om transformationer som överför ett tillstånd till ett annat.
↑ 1 2 Schönert, Martin Analyserar Rubiks kub med GAP . Hämtad 19 juli 2013. Arkiverad från originalet 5 september 2013.
↑ V. Dubrovsky. Mathematics of the Magic Cube // Kvant. - 1982. - Nr 8 . - S. 22 - 27, 48 . (ryska)
↑ Jaap Scherphuis. Rubiks kub 3x3x3 . Antalet positioner (engelska) . Hämtad 19 juli 2013. Arkiverad från originalet 5 september 2013.
↑ 1 2 3 4 Jaap Scherphuis. Användbar matematik . Hämtad 22 juli 2013. Arkiverad från originalet 5 september 2013.
↑ Ryan Heise. Rubiks kubteori: kubens lagar (engelska) . Hämtad 21 juli 2013. Arkiverad från originalet 5 september 2013.
↑ Rokicki, T.; Kociemba, H.; Davidson, M.; och Dethridge, J. Guds nummer är 20 . Datum för åtkomst: 19 juli 2013. Arkiverad från originalet 26 juli 2013.
↑ Weisstein, Eric W. Rubiks kub . Hämtad 22 juli 2013. Arkiverad från originalet 2 juni 2013.
↑ Lucas Garron. (R U2 D' B D')1260 (engelska) . Hämtad 22 juli 2013. Arkiverad från originalet 5 september 2013.
↑ Joyner, David. Äventyr i gruppteori: Rubiks kub, Merlins maskin och andra matematiska leksaker . — Baltimore: Johns Hopkins University Press, 2002. - P. 7 . - ISBN 0-8018-6947-1 .
↑ 1 2 Jamie Mulholland. Föreläsning 21: Rubik's Cube: Subgroups of the Cube Group (länk ej tillgänglig) (2011). Arkiverad från originalet den 24 november 2015. (obestämd)
↑ Davis, Tom. Gruppteori via Rubiks kub (2006). Hämtad 22 juli 2013. Arkiverad från originalet 5 september 2013. (obestämd)
↑ 1 2 Mathematics of the Rubik's Cube, 1996 , sid. 209.
↑ 1 2 David Singmaster. Cubic Circular, nummer 3 & 4 . Ordningar av element (s. 34-35 ) . Hämtad 24 november 2015. Arkiverad från originalet 14 september 2015.
↑ Walter Randelshofer. Eventuella beställningar . Hämtad 24 november 2015. Arkiverad från originalet 24 november 2015. (obestämd)
↑ 1 2 Jesper C. Gerved, Torben Maack Bisgaard. (Brev till David B. Singmaster) (27 juli 1981). Arkiverad från originalet den 1 augusti 2015. (obestämd)(brev till D. Singmaster med tabeller som innehåller antalet element i varje möjlig ordning av Rubiks kubgrupp)
↑ Matematiska miniatyrer, 1991 .
↑ Michael ZR Gottlieb. Beställningskalkylator . Datum för åtkomst: 24 november 2015. Arkiverad från originalet 3 februari 2016. (obestämd)
↑ Mathematics of the Rubik's Cube, 1996 , sid. 234.
↑ Jaap Scherphuis. Kubundergrupper . _ Hämtad 22 juli 2013. Arkiverad från originalet 5 september 2013.
↑ Bruce Norskog. En Hamilton-bana för Rubik's Cube! . Domän för kubforumet. Hämtad 21 juli 2013. Arkiverad från originalet 5 september 2013. (obestämd)
↑ Bruce Norskog. En Hamilton-bana för Rubik's Cube! . speedsolving.com. Hämtad 21 juli 2013. Arkiverad från originalet 5 september 2013. (obestämd)
↑ Mathematics of the Rubik's Cube, 1996 , sid. 129.

Litteratur

Joyner, David. Äventyr i gruppteori: Rubiks kub, Merlins maskin och andra matematiska leksaker . — Baltimore: Johns Hopkins University Press, 2002. - ISBN 0-8018-6947-1 .
Savin A.P. Matematiska miniatyrer / Konstnär E. Shabelnik. - M . : Barnlitteratur , 1991. - S. 79-81. — 127 sid. - (Känna och kunna). - ISBN 5-08-000596-3 .
WD Joyner. Mathematics of the Rubik's Cube (1996). Tillträdesdatum: 5 december 2015. Arkiverad från originalet 20 februari 2016. (obestämd)

Länkar

WD Joyner. Föreläsningsanteckningar om matematiken i Rubiks kub (engelska) . Hämtad 22 juli 2013. Arkiverad från originalet 5 september 2013.
Janet Chen. Gruppteori och Rubiks kub . Hämtad 28 mars 2022. Arkiverad från originalet 30 september 2019. (obestämd)