Cirkulerande medel

En cirkulerande eller cirkulerande matris är en matris av formen

C={\begin{pmatrix}a_{1}&a_{2}&\cdots &a_{n}\\a_{n}&a_{1}&\cdots &a_{n-1}\\\vdots & \vdots &\ddots &\vdots \\a_{2}&a_{3}&\cdots &a_{1}\\\end{pmatrix}},

där alla är komplexa tal [1] . Cirkulationsmedlet kan också kort beskrivas som [2] . Således är en cirkulant en matris i vilken varje nästa rad (kolumn), med början från den första (från den första), erhålls genom en cyklisk alfabetisk permutation av elementen i föregående rad (kolumn). Varje cirkulerande matris är per definition Toeplitz . $a_{i}$ $C_{ij}=a_{j-i+1{\pmod {n))},\ i,j=1,\ldots ,n$

Dessutom kallas determinanten för en sådan matris ofta en cirkulant [3] .

Egenskaper

Låt och vara cirkulerande matriser. Då gäller följande egenskaper [4] . $A$ $B$

$AB=BA$ och - cirkulationspump. $AB$
Matriser (elementvis komplext konjugat ), ( transponerat ) och ( Hermitiskt konjugat ) är cirkulerande. $\overline {A}$ $A^{\mathrm {T} }$ $A^{*}$
Matrisen är cirkulerande kl . $A^{k}$ $k\geqslant 0$
Om den är icke- degenererad , är den cirkulerande. $A$ $A^{{-1}}$
Matrisen är persymmetrisk och normal . $A$

Determinant

Låt oss beteckna den primitiva roten till enhet som . Då gäller följande formel för cirkulationsdeterminanten : $\zeta$ $n$ $C$

\operatorname {det} C=\prod \limits _{k=0}^{n-1}(a_{1}+a_{2}\zeta ^{k}+\ldots +a_{n- 1}\zeta ^{k(n-2)}+a_{n}\zeta ^{k(n-1)})

Bevis

Låt oss beteckna och . Multiplicera cirkulanten till höger med Vandermonde-determinanten för formen : ${\displaystyle f(x)=a_{1}+a_{2}x+\ldots +a_{n}x^{n-1))$ ${\displaystyle \zeta _{k}=\zeta ^{k))$ ${\displaystyle |\zeta _{j}^{i-1}|_{n\ gånger n))$

{\begin{vmatrix}a_{1}&a_{2}&\cdots &a_{n}\\a_{n}&a_{1}&\cdots &a_{n-1}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{2}&a_{3}&\cdots &a_{1}\end{vmatrix}}\cdot {\begin{vmatrix}1&1&\cdots &1\\\zeta _{1}& \zeta _{2}&\cdots &\zeta _{n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\\zeta _{1}^{n-1}&\zeta _{2} ^{n-1}&\cdots &\zeta _{n}^{n-1}\end{vmatrix}}={\begin{vmatrix}f(\zeta _{1})&f(\zeta _{ 2})&\cdots &f(\zeta _{n})\\\zeta _{1}f(\zeta _{1})&\zeta _{2}f(\zeta _{2})&\ cdots &\zeta _{n}f(\zeta _{n})\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\\zeta _{1}^{n-1}f(\zeta _{ 1})&\zeta _{2}^{n-1}f(\zeta _{2})&\cdots &\zeta _{n}^{n-1}f(\zeta _{n}) \end{vmatrix}}=

$=f(\zeta _{1})f(\zeta _{2})\ldots f(\zeta _{n})\cdot {\begin{vmatrix}1&1&\cdots &1\\\zeta _ {1}&\zeta _{2}&\cdots &\zeta _{n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\\zeta _{1}^{n-1}&\zeta _{2}^{n-1}&\cdots &\zeta _{n}^{n-1}\end{vmatrix}}$

Därefter avbryter vi Vandermonde-determinanten som icke-noll. ■

Med andra ord är cirkulantens egenvärden lika med den diskreta Fouriertransformen av vektorn [3] . $\left(a_{1},\ldots,a_{n}\right)$

Exempel

För cirkulationsdeterminanten är: $n=2$

\operatorname {det} {\begin{pmatrix}a_{1}&a_{2}\\a_{2}&a_{1}\end{pmatrix}}=(a_{1}-a_{2}) (a_{1}+a_{2}).

För : $n=3,\omega ^{3}=1,\omega \neq 1$

\operatorname {det} {\begin{pmatrix}a_{1}&a_{2}&a_{3}\\a_{3}&a_{1}&a_{2}\\a_{2}&a_{3} &a_{1}\end{pmatrix}}=(a_{1}+a_{2}+a_{3})(a_{1}+a_{2}\omega +a_{3}\omega ^{2} )(a_{1}+a_{2}\omega ^{2}+a_{3}\omega ).

Relaterade definitioner

Anticirkulationsmedel

Anticirkulationsmedel är en matris av liknande form [5] :

{\begin{pmatrix}a_{1}&-a_{n}&-a_{n-1}&\cdots &-a_{2}\\a_{2}&a_{1}&-a_{ n}&\cdots &-a_{3}\\a_{3}&a_{2}&a_{1}&\cdots &-a_{4}\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{n}&a_{n-1}&a_{2}&\cdots &a_{1}\\\end{pmatrix}}.

Kosocirculant

Visa Matrix

\left({\begin{array}{ccccc}a_{1}&\varphi a_{n}&\varphi a_{n-1}&\cdots &\varphi a_{2}\\a_{2 }&a_{1}&\varphi a_{n}&\cdots &\varphi a_{3}\\a_{3}&a_{2}&a_{1}&\cdots &\varphi a_{4}\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{n}&a_{n-1}&a_{n-2}&\cdots &a_{1}\end{array}}\right)

kallas -skew-circulant of order at [6] . $\varphi$ $n$ $\varphi \neq 0$

Uppenbarligen är cirkulationsmedlet ett skevt cirkulationsmedel och anticirkulationsmedlet är ett skevt cirkulerande medel . $(ett)$ $(-ett)$

Se även

Hankel matris

Länkar

Weisstein, Eric W. Circulant Matrix (engelska) på Wolfram MathWorld- webbplatsen .

Anteckningar

↑ Aldrovandi, 2001 , sid. 83.
↑ Davis, 1979 , sid. 66.
↑ 1 2 Aldrovandi, 2001 , sid. 84.
↑ Bernstein, DS Matrismatematik: teori, fakta och formler . - 2:a upplagan - Princeton University Press , 2009. - P. 356. - ISBN 978-0-691-13287-7 .
↑ Bini, Pan, 1994 , sid. 132.
↑ Voevodin, Tyrtyshnikov, 1987 , sid. 47.

Litteratur

Maltsev, A. I. Grunderna i linjär algebra. —M.:Nauka, 1975. — 400 sid. (ryska)
Davis, PJ Cirkulantmatriser . - John Wiley & Sons , 1979. - ISBN 0-471-05771-1 .
Aldrovandi, R. Specialmatriser för matematisk fysik :stokastiska, cirkulerande och klockmatriser . - World Scientific , 2001. - ISBN 9810247087 .
Bini, D. , Pan, VY Polynom- och matrisberäkningar (engelska) . - Birkhäuser Boston, 1994. - ISBN 0-8176-3786-9 .
Voevodin, V. V. , Tyrtyshnikov, E. E. Beräkningsprocesser med Toeplitz-matriser. —M.:Nauka, 1987. — 320 sid. (ryska)