Konjugera siffror

Konjugerade tal ( komplexa konjugerade tal ) är ett par av komplexa tal som har samma reella delar och lika i absolut värde , men motsatt i tecken, imaginära delar [1] . Till exempel, tal och är konjugerade . Konjugatet av ett tal betecknas med . I det allmänna fallet är konjugatet till ett tal (där och är reella tal ) . $3+4i$ $3-4i$ $z$ $\overline{z}$ $z=a+ib$ $a$ $b$ ${\overline {z}}=a-ib$

Till exempel:

{\overline {(3-2i)))=3+2i

{\overline {7}}=7

{\overline {i}}=-i.

På det komplexa planet representeras konjugerade tal av punkter som är symmetriska kring den reella axeln. I det polära koordinatsystemet har de konjugata talen formen och , som direkt följer av Eulerformeln . $re^{i\phi }$ ${\displaystyle re^{-i\phi ))$

Konjugerade tal är rötterna till en andragradsekvation med reella koefficienter och en negativ diskriminant.

Egenskaper

För godtyckliga komplexa tal och : $z$ $w$

${\overline {(z\pm w)}}={\overline {z}}\pm {\overline {w}}$ ,
${\overline {(zw)}}={\overline {z}}\;{\overline {w}}$
${\overline {z}}=z\Leftrightarrow z$ är ett reellt tal,
${\overline {z^{n}}}={\overline {z}}^{n}$ för alla heltal , $n$
$\left|{\overline {z}}\right|=\left|z\right|$ ,
${\left|z\right|}^{2}=z{\overline {z}}={\overline {z}}z$ ,
${\overline {\overline {z}}}=z$ (det vill säga konjugering är en involution ),
${\displaystyle z^{-1}={\frac {\overline {z}}({\left|z\right|}^{2))))$ om inte lika med noll. Denna egenskap används för att beräkna reciproken av ett komplext tal som ges i rektangulära koordinater. $z$

Om är en holomorf funktion vars begränsning till mängden reella tal är en reell funktion och definieras , då: $\phi$ $\phi (z)$

\phi ({\overline {z)))={\overline {\phi (z)))

Särskilt:

$\exp({\overline {z)))={\overline {\exp(z)))$
$\log({\overline {z)))={\overline {\log(z)))$ om inte lika med noll. $z$
if är ett polynom med reella koefficienter och , då också , det vill säga de komplexa (inte reella) rötterna av sådana polynom bildar alltid komplexa konjugerade par. $sid$ $p(z)=0$ $p({\overline {z)))=0$

Bestämma koordinaterna för ett tal och konjugation

De rektangulära och polära koordinaterna för ett komplext tal kan bestämmas med formlerna:

$x=\operatörsnamn {Re} \,(z)=(z+{\overline {z)))/2$
$y=\operatörsnamn {Im} \,(z)=(z-{\overline {z)))/2i$
$\rho =\left|z\right|={\sqrt {z\cdot {\överlinje {z))))$
$e^{i\theta }=z/\left|z\right|=e^{i\arg z}={\sqrt {z/{\overline {z))))$ (om inte lika med noll). $z$

Anteckningar

↑ Weisstein, Eric W. Complex Conjugates på Wolfram MathWorld- webbplatsen .

Litteratur

Shabat BV Introduktion till komplex analys. — M .: Nauka , 1969. — 577 sid.

Ordböcker och uppslagsverk	Stor katalanska