Sfäriska cosinussatser

De första och andra sfäriska cosinussatserna upprättar samband mellan sidorna och motsatta vinklar i en sfärisk triangel .

Formulering

Cosinussatserna för en sfärisk triangel med sidorna a , b , c och vinklarna A , B , C är följande:

\cos c=\cos a\cos b+\sin a\sin b\cos C,

\cos A=-\cos B\cos C+\sin B\sin C\cos a.

Dessa två satser är dubbla till varandra, eftersom vinklarna och sidorna av en sfärisk triangel kompletteras till en rät vinkel av sidorna och vinklarna i den motsvarande polära triangeln . Därför räcker det att bevisa en av dem.

Bevis

Beviset kommer att utföras med hjälp av projektioner [1] . Figuren visar en sfärisk triangel ABC på en sfär med radien R centrerad på O. BP är vinkelrät mot storcirkelns plan som går genom sidan b , BM är vinkelrät mot OC , BN är vinkelrät mot OA . Med motsatsen till tre vinkelräta satsen är PM vinkelrät till OC , PN är vinkelrät till OA . Observera att vinkeln PMB är lika med π - C, dessutom är ON = R cos c och OM = R cos a. Därefter projicerar vi polylinjen OMPN på linjen som innehåller ON .

{\mbox{pr }}ON={\mbox{pr }}OM+{\mbox{pr }}MP+{\mbox{pr }}PN

PN\perp OA\Rightarrow {\mbox{pr }}PN=0

{\mbox{pr }}OM=OM\cos b=R\cos a\cos b

{\mbox{pr }}MP=PM\cos(\pi -({\frac {\pi }{2}}-\angle MPN))=PM(-\sin \angle MPN)

=BM\cos \angle PMB(-\sin b)=BM\cos(\pi -C)(-\sin b)=R\sin b\sin a\cos C

Vi ersätter de tre sista uttrycken och uttrycket ovan ON = R cos c i det första uttrycket och får:

\cos c=\cos a\cos b+\sin a\sin b\cos C

Cosinussatserna för de andra två sidorna, det vill säga satsen för cos a och satsen för cos b, erhålls på liknande sätt, de kan också erhållas direkt från formeln för sida c med hjälp av en cirkulär permutation av bokstäver:

$a\rightarrow b\rightarrow c\rightarrow a,A\rightarrow B\rightarrow C\rightarrow A$

Konsekvenser och tillämpningar

Om vinkeln C är rätt, går den första cosinussatsen in i den sfäriska Pythagoras sats :

\cos c=\cos a\cos b.

Även om mer bekväma formler vanligtvis används för att lösa sneda sfäriska trianglar , med hjälp av cosinussatsen, härleds en viktig formel för geodesi för längden av storcirkeln - det kortaste avståndet mellan punkter på jordens yta med kända koordinater (förutsatt att jorden är sfärisk). Låt oss beteckna de geografiska breddgraderna för de två givna punkterna och , skillnaden mellan longituder - , det kortaste avståndet mellan dem kommer vi att beteckna d, båglängden på 1 grad - a. Sedan ortodromilängdformeln [2] : $\varphi _{A}$ $\varphi _{B}$ $\Delta \lambda _{AB}$

\cos\left (\frac{d}{a}\right)=\sin\varphi_A\cdot\sin\varphi_B+\cos\varphi_A\cdot\cos\varphi_B\cdot\cos\Delta\lambda_{AB}

Denna formel erhålls omedelbart genom att applicera cosinussatsen på sidan AB av den sfäriska triangeln P n AB. En liknande formel är giltig för vilken sfärisk yta som helst och därför kan den också användas för att bestämma vinkelavståndet mellan stjärnor med hjälp av deras kända ekvatorialkoordinater [3] .

Exempel 1: Bestämning av vinkelavståndet mellan två armaturer på himmelssfären

Låt oss bestämma vinkelavståndet (x) mellan stjärnan δ Cepheus (ekvatorialkoordinater: α 1 =22h 29m, δ 1 =+58° 25′) och Andromeda -nebulosagalaxen (α 2 =0h 43m, δ 2 =+41 ° 16′) vid himmelssfären. Vi uttrycker α 1 i grader och bråkdelar av en grad:

\alpha_1 = \left (22+\frac{29}{60}\right )\cdot\frac{360}{24}=337^\circ,25

På liknande sätt får vi att α2 = 10°,75. Vi uttrycker δ 1 i grader och bråkdelar av en grad:

\delta_1 = 58+\frac{25}{60}=58^\circ,42

På liknande sätt är 52 = 41°,27. Vi tillämpar cosinussatsen [4] :

$\begin{align} \cos x & = \cos(90^\circ-\delta_1)\cdot\cos(90^\circ-\delta_2)+\sin(90^\circ-\delta_1)\cdot\sin (90^\circ-\delta_2)\cdot\cos(\alpha_1-\alpha_2)\\ & =\sin 58^\circ,42\cdot\sin 41^\circ,27+\cos 58^\circ, 42\cdot\cos 41^\circ,27\cdot\cos (337^\circ,25-10^\circ,75)\\ &=0.89 \end{align}$

Följaktligen x=27°,11.

Cosinussatsen i sin andra form (relationen mellan tre vinklar och en sida) kan användas för att beräkna den inbördes lutningen av två banor, givet lutningen av varje bana till något annat plan. Till exempel kan den här formeln användas för att beräkna lutningen av Plutos omloppsbana till den för Neptunus , genom att använda lutningarna för deras banor mot ekliptikan och longituderna för deras stigande noder.

Exempel 2: Bestämning av den inbördes lutningen av himlakropparnas banor

Låt oss bestämma den ömsesidiga lutningen (x) för Plutos banor (lutningen av banan till ekliptikan är 17°.14, den uppåtgående nodens longitud är 110°,30) och Neptunus (banans lutning till ekliptikan är 1°.77, den uppåtgående nodens longitud är 131°.79) . I den motsvarande sfäriska triangeln är två vinklar kända: en är lika med lutningen av Plutos bana mot ekliptikan, den andra är tillägget av lutningen av Neptunus bana till ekliptikan upp till 180 grader. Sidan som gränsar till dessa hörn är också känd, lika med skillnaden i longituder för de stigande noderna av Pluto och Neptunus. Det återstår att tillämpa den andra versionen av cosinussatsen - för vinklar:

$\begin{align} \cos x & = -\cos(17^\circ,14)\cdot\cos(180^\circ-1^\circ,77)+\sin(17^\circ,14)\ cdot\sin(180^\circ-1^\circ,77)\cdot\cos(131^\circ,79-110^\circ,30)\\ & \approx0,9636\\ \end{align}$

Följaktligen x≈15°,51.

Historik

Matematiker från det medeltida östern använde ett uttalande som motsvarar det sfäriska cosinussatsen för att lösa specifika astronomiska problem. Dessa förhållanden som används för att bestämma solens höjd finns i skrifterna av Thabit ibn Korra , al-Mahani , al-Battani , Ibn Yunis , al-Biruni .

Den första explicita formuleringen av satsen gavs på 1400-talet av Regiomontanus , som kallade den "Albategnius sats" (efter det latiniserade namnet al-Battani ).

Se även

Anteckningar

↑ Citerad enligt publikationen: Stepanov N. N. Formler för en sidas cosinus // Sfärisk trigonometri . - M. - L .: OGIZ , 1948. - S. 24 -28. — 154 sid.
↑ Mikhailov V.S., Kudryavtsev V.G., Davydov V.S. 26.2. Grundläggande formler för ortodromi. Sätt att ställa in den // Navigation and Pilot . - Kiev, 2009. Arkivexemplar daterad 25 juli 2012 på Wayback Machine
↑ Meyos J. 9. Vinkelavstånd mellan objekt // Astronomiska formler för miniräknare. - Mir , 1988. - S. 44-46. — 168 sid. — ISBN 5030009361 .
↑ Lee Kai Ming. PHYS 2021 - Det fysiska universum . - 2010. - S. 6 . Arkiverad från originalet den 3 december 2008.

Litteratur

Wentzel M. K. Sfärisk trigonometri. 2:a uppl., IGKL, 1948, 115s.
Matvievskaya G.P. Essäer om trigonometrins historia: antikens Grekland. Medeltida öst. Sen medeltid. - Ed. 2:a. - M. : Librokom, 2012. - 160 sid. - (Fysisk-matematiskt arv: matematik (matematikens historia)). — ISBN 978-5-397-02777-9 .
Stepanov N. N. Sfärisk trigonometri. - L.-M., 1948.

Sfärisk trigonometri
Grundläggande koncept	sfärisk triangel polär triangel Överskott Bigon
Formler och förhållanden	Cosinussatser Sinussats Fem element formel Formel på halva sidan Napiers mnemoniska regel Pythagoras sfäriska sats Delambre formler Napiers analogiformler Legendres sats Lösa trianglar
Relaterade ämnen	Sfäriskt koordinatsystem sfärisk geometri triedrisk vinkel