Napiers mnemoniska regel

Napiers mnemoniska regel  är en form av att skriva de grundläggande förhållandena i en rätvinklig sfärisk triangel , lätt att komma ihåg.

Formulering och motivering av regeln

Formulering

Napiers mnemonregel kan formuleras enligt följande [1] :

Två exempel:

För att göra det mer bekvämt att tillämpa regeln, rita en cirkel, dela den i fem delar med radier och skriv i dem alla element i en rätvinklig sfärisk triangel, med undantag för den räta vinkeln, i sekvensen där de är belägna i triangeln. Varje ben är markerat med en horisontell linje ovanför den eller en apostrof bredvid - ett tecken på benets komplement upp till 90 grader. Det är lätt att hitta de tre rätta elementen på cirkeln och tillämpa den mnemoniska regeln på dem.

Låt oss bevisa en formel för tre intilliggande element i en rätvinklig sfärisk triangel och en formel för två angränsande och ett separat element [2] , och sedan för att underbygga Napiers mnemoniska regel (och samtidigt bevisa själva formlerna), som ger alla tio sådana formler för en rätvinklig sfärisk triangel , tillämpas på dessa två formler, efter Lambert, den stjärnformade femhörningen [3] .

Låt oss ta två ben a och b (intilliggande element) och hypotenusa c (separat element). De är förbundna med den sfäriska Pythagoras sats , som bevisas i artikeln om det. Därför finns det praktiskt taget ingenting att bevisa i detta fall. Vi noterar bara det

det vill säga för dessa tre element är Napiers mnemoniska regel giltig. Vi härleder nu en formel för tre intilliggande element. Ta hypotenusan c, benet a och vinkeln B. Som i beviset för Pythagoras sfäriska sats, betrakta den triedriska vinkeln OA 1 B 1 C 1 med sidor (strålar) OA 1 , OB 1 , OC 1 och vertex vid punkt O, motsvarande en given rätvinklig sfärisk triangel ABC.

Lägg märke till att

Härifrån

det vill säga för dessa tre element är Napiers mnemoniska regel giltig. Båda formlerna är beprövade. Det återstår att applicera stjärnfemhörningen.

I figuren indikeras tilläggen av element upp till 90 grader med apostrof. Denna stjärnformade femhörning är konstruerad enligt följande. En given sfärisk triangel ABC ritas på sfären, dess hörn A och B är de två första hörnen i femhörningen. Därefter ritar vi polarna för punkterna A och B, punkten för deras skärningspunkt, som ligger på andra sidan hypotenusan c från vertex C, kommer att vara den tredje spetsen av femhörningen, och de två skärningspunkterna för dessa polarer med fortsättningen av sidorna a och b kommer att vara de andra två hörnen av femhörningen. Förlängningarna av femhörningens sidor skär varandra för att bilda fem sfäriska trianglar. Det är lätt att se att varje vertex av femhörningen är en pol för sin motsatta sida. Därför kommer alla fem sfäriska trianglarna att vara rätvinkliga. Härifrån erhålls också värdena för alla deras element, indikerade i figuren.

För den sfäriska triangeln ABC bevisades två formler för Napiers mnemoniska regel ovan. Elementen i varje nästa medurs rätvinklig sfärisk triangel motsvarar elementen i den föregående, roterade med 2/5 av ett helt varv, eller deras komplement upp till 90 grader. Därför, genom att successivt tillämpa de erhållna två formlerna på motsvarande element i varje triangel, får vi alla 10 formler och samma form av Napiers mnemoniska regel för dem alla.

Historik

Napiers mnemoniska regel är uppkallad efter John Napier , som publicerade den i sitt berömda verk "Description of the amazing table of logarithms" (1614), och han citerade den som en demonstration av tillämpningen av det nya matematiska konceptet som definierats av honom i detta arbete logaritm , och båda delarna av jämlikhet i mnemonika Napiers regler är prologaritmiska. En elegant och visuell matematisk motivering av Napiers mnemoniska regel med hjälp av en stjärnformad femhörning gav Johann Lambert i hans arbete "Additions to the Application of Mathematics and Their Applications", publicerat 1765 [3] . Senare användes den stjärnformade femhörningen på sfären av Carl Gauss för att underbygga detsamma (troligen läste han inte om det i Lamberts verk) och andra egenskaper, Gauss kallade det ett "underbart pentagram" ( lat.  pentagramma mirificum ) [4] .

Justering med hjälp av en stjärnformad femhörning av relationer i en rätvinklig sfärisk triangel visade sig vara en något universell metod: Nikolai Lobachevsky använde en sekvens av fem rätvinkliga trianglar för att härleda ett samband mellan elementen i en rätvinklig triangel i det utrymme han studerade kopplade senare den indiske matematikern S. Mukopadiaya denna sekvens med en femhörning i samma utrymme, och ännu senare etablerade den ryske matematikern Alexander Norden en koppling mellan den stjärnformade femhörningen på sfären och den nämnda femhörningen i sfären. Lobatsjovskij rymden [3] .

Anteckningar

1. ↑ Stepanov N.N. Napiers mnemoniska regel // Sfärisk trigonometri . - M. - L .: OGIZ , 1948. - S.  48 -49. — 154 sid.
2. ↑ Stepanov N.N. Sfärisk trigonometri. - M. - L .: OGIZ , 1948. - 154 sid.
3. ↑ 1 2 3 B.L. Laptev. Lambert är en geometer. // Historisk och matematisk forskning . - M . : Nauka , 1980. - Nr 25 . - S. 248-252 .
4. ↑ Magnus J. Wenninger. Polyedermodeller . - Cambridge University Press , 1974. - C. xi. — 228 sid.