Pythagoras sfäriska sats

Den sfäriska Pythagoras sats är en sats som fastställer förhållandet mellan sidorna av en rätvinklig sfärisk triangel .

Påstående och bevis

Pythagoras sfäriska sats är formulerad enligt följande [1] :

Cosinus för hypotenusan i en rätvinklig sfärisk triangel är lika med produkten av cosinus av dess ben.

Beviset kommer att utföras med hjälp av en trihedrisk vinkel [1] OA 1 B 1 C 1 med sidor (strålar) OA 1 , OB 1 , OC 1 och en vertex vid punkten O, de plana vinklarna A 1 OC 1 och C 1 OB 1 är lika med benen b och a i denna triangel, den plana vinkeln A 1 OB 1 är lika med dess hypotenusa c, den dihedrala vinkeln mellan ytorna A 1 OC 1 och C 1 OB 1 är 90 grader, och andra två dihedriska vinklar är lika med motsvarande vinklar i den sfäriska räta triangeln. Denna trihedriska vinkel skärs av planet A 1 B 1 C 1 vinkelrätt mot strålen OB 1 . Då blir vinklarna A 1 C 1 O och A 1 C 1 B 1 rätta.

Lägg märke till att

Härifrån

Q.E.D.

Om vi ​​antar att den sfäriska cosinussatsen redan har bevisats, kan formeln för den sfäriska Pythagoras sats omedelbart erhållas från den genom att skriva den sfäriska cosinussatsen för hypotenusan för en given rätvinklig sfärisk triangel och helt enkelt ersätta det resulterande uttrycket vinkeln på 90 grader, vars cosinus är noll.

Konsekvenser och tillämpningar

Eftersom sfärens radie tenderar till oändlighet, blir den sfäriska Pythagoras sats Pythagoras sats för planimetri . Därför, eftersom jordens radie är stor, på små avstånd, följer rätvinkliga trianglar på jordens yta (till exempel för att mäta avstånd och vinklar på marken) praktiskt taget Pythagoras planimetrisats [2] , medan för stora avstånd jämförbara med jordens radie, är det redan nödvändigt att tillämpa sfärisk Pythagoras sats.

Med hjälp av den sfäriska Pythagoras sats kan man få formler för skillnaden i longituder och avstånd mellan punkter på jordens yta, och följaktligen motsvarande formler för avstånd och koordinater för punkter på himmelsfären .

Av Pythagoras sfäriska sats följer att i en rätvinklig sfärisk triangel är antalet sidor mindre än 90 grader udda, och antalet stora är jämnt [1] . Därför, om båda benen i en rätvinklig sfärisk triangel är större än 90 grader, är dess hypotenusa mindre än 90 grader, det vill säga i det här fallet är hypotenusan kortare än vart och ett av de två benen - en position som är omöjlig för en rätvinklig triangel på ett plan.

Historik

Den sfäriska Pythagoras sats var också känd för Al-Biruni , som samtidigt inte kände till den sfäriska cosinussatsen, därför använde han den sfäriska Pythagoras sats och sinussatsen för att lösa åtminstone två problem: att bestämma skillnaden i longituder för två punkter på jordens yta genom deras latituder och avståndet mellan dem och bestämma avståndet mellan två punkter på jordens yta genom deras latituder och longituder [3] :81 .

Se även

• Pythagoras sats

Anteckningar

1. ↑ 1 2 3 Stepanov N.N. Sfärisk Pythagoras sats // Sfärisk trigonometri . - M. - L .: OGIZ , 1948. - S.  42 -44. — 154 sid.
2. ↑ John McCleary. Geometri från en differentierbar synvinkel . - Cambridge University Press , 1994. - S. 6. - 308 sid. Arkiverad 22 januari 2021 på Wayback Machine
3. ↑ Rosenfeld B.A., Rozhanskaya M.M. Astronomiskt arbete av Al-Biruni "Canon of Mas'ud"  // Historisk och astronomisk forskning . - M . : Nauka , 1969. - Utgåva. x . - S. 63-96 . Arkiverad från originalet den 10 september 2010.