Polär triangel

Den polära triangeln är ett koncept av sfärisk geometri . En polär triangel för en given sfärisk triangel är en sfärisk triangel med avseende på vars sidor den givna triangelns hörn är poler.

Polen är en av de två skärningspunkterna för vinkelrät från sfärens centrum till storcirkelns plan [1] :7 . Det vill säga, i det här fallet ligger varje hörn av den givna sfäriska triangeln på vinkelrät från sfärens centrum till storcirkeln som innehåller motsvarande sida av den polära sfäriska triangeln.

Egenskaper

Polära trianglar har egenskapen ömsesidighet: [2] om den sfäriska triangeln ABC är polär med avseende på den sfäriska triangeln LMN , då är den sfäriska triangeln LMN också polär med avseende på den sfäriska triangeln ABC . Vinklarna på en av trianglarna polära mot varandra kompletterar sidorna av den andra triangeln till en rät vinkel. Således kan varje sats eller formel som relaterar till sidorna och vinklarna i en triangel omvandlas till en dubbelsats eller formel om vinklarna och sidorna i en polär triangel.

Om alla sidor av en sfärisk triangel är mindre än en rät vinkel, kommer den att ligga inuti en polär triangel. Om alla sidor av en sfärisk triangel är större än en rät vinkel, kommer den själv att innehålla en polär triangel. Om minst en sida av en sfärisk triangel är mindre än eller lika med en rät vinkel, medan resten är större, kommer den att skära en polär triangel [3] . En sfärisk triangel, vars alla sidor är lika med en rät vinkel, kommer att vara polär mot sig själv.

Historik

Det tidigaste exemplet på användningen av den polära triangeln finns i Abu Nasr ibn Iraqi 's Treatise on the Knowledge of the Celestial Arcs . Ibn Irak introducerar den polära triangeln när man beräknar sidorna av en given sfärisk triangel utifrån dess tre vinklar. En liknande metod användes senare av al-Jayani i The Book of the Unknown Arcs of the Sphere och av Nasir al-Din al-Tusi i Treatise on the Complete Quadrilateral.

Begreppet "polär triangel" i Europa spreds under 1700-talet tack vare V. Snellius [3] , som härledde dess grundläggande egenskaper [4] .

Se även

• sfärisk triangel
• Triangel

Anteckningar

1. ↑ Stepanov N.N. Sfärisk trigonometri. - M. - L .: OGIZ , 1948. - 154 sid.
2. ↑ Weisstein, Eric W. Triangle.html Polar triangel  på Wolfram MathWorld .
3. ↑ 1 2 Stepanov N.N. Polär sfärisk triangel och dess egenskaper // Sfärisk trigonometri . - M. - L .: OGIZ , 1948. - S.  12 -14. — 154 sid.
4. ↑ Walter William Rouse Ball . En kort redogörelse för matematikens historia . - Courier Dover Publications, 1960. - S. 254. - 522 sid.

Litteratur

• Matvievskaya G.P. Essäer om trigonometrins historia. Tasjkent: Fan, 1990.