Sfär

Den aktuella versionen av sidan har ännu inte granskats av erfarna bidragsgivare och kan skilja sig väsentligt från versionen som granskades den 15 december 2021; kontroller kräver 8 redigeringar .

Sfär ( annan grekisk σφαῖρα " boll , boll [1] ") är platsen för punkter i rymden på samma avstånd från någon given punkt ( sfärens mitt ).

Avståndet från en punkt på en sfär till dess centrum kallas sfärens radie . En sfär med radie 1 kallas enhetssfären .

Egenskaper

En sfär är en rotationsyta som bildas genom att en halvcirkel roteras runt dess diameter .

En sfär är ett specialfall av en ellipsoid , där alla tre axlarna (halvaxlar, radier) är lika.

En sfär är ytan på en boll .

En sfär har den minsta arean av alla ytor som begränsar en given volym, med andra ord, av alla ytor med en given area, avgränsar en sfär den största volymen. Det är på grund av minimeringen av ytarean genom ytspänningens kraft som små vattendroppar i viktlöshet får en sfärisk form.

Betydelse inom naturvetenskap

Den sfäriska formens perfektion har länge uppmärksammats av tänkare och vetenskapsmän som med hjälp av sfärer försökte förklara harmonin i omvärlden. Den antika grekiske vetenskapsmannen Pythagoras introducerade tillsammans med den sfäriska jorden i universums centrum en avlägsen kristallsfär som omger jorden, till vilken stjärnorna är fästa, och sju närmare roterande kristallsfärer, till vilka solen, månen och fem planeter kända vid den tiden (exklusive jorden) är fästa. Denna modell blev senare mer komplicerad: Eudoxus från Cnidus ansåg redan 27 sådana sfärer, och Aristoteles - 55 kristallsfärer [2] . Idéer om de roterande himmelssfärerna dominerade åtminstone fram till medeltiden och kom till och med in i det heliocentriska systemet i Nicolaus Copernicus värld , som kallade sitt huvudverk " Om de himmelska sfärernas rotation " ( lat. De revolutionibus orbium coelestium ).

Himmelska sfärer sedan antikens Grekland var en del av ett mer allmänt begrepp om sfärernas harmoni om världens musikaliska och astronomiska struktur, vilket också inkluderade begreppet "sfärernas musik". Detta koncept fanns också åtminstone fram till medeltiden. För en av de mest kända astronomerna, Johannes Kepler , intog sfären en central plats i hela hans system av religiösa och mystiska idéer, han skrev: ”Bilden av den treenige guden är en sfärisk yta, nämligen: gud fadern i centrum , gud sonen på ytan och den heliga anden står i ett symmetriskt förhållande mellan centrum och den sfäriska ytan som beskrivs runt den” [3] [4] . En av Keplers första betydande skrifter, " The Secret of the Universe " ( lat. Mysterium Cosmographicum ), ägnades åt parametrarna för de himmelska sfärerna, Kepler trodde att han upptäckte ett anmärkningsvärt samband mellan vanliga polyedrar , av vilka det bara finns fem, och de himmelska sfärerna på de sex planeter som var kända vid den tiden (inklusive jorden), som enligt Kepler är de omskrivna och inskrivna sfärerna av dessa polyedrar. Idén om sfärernas harmoni spelade en stor roll i Keplers upptäckt av den tredje rörelselagen för himlakroppar (i alla fall kan de betraktas som ett incitament att söka efter astronomiska samband) [5] . Men för Kepler var himmelssfärerna redan rent matematiska objekt och inte fysiskt existerande kroppar. Vid den tiden hade Tycho Brahe visat att kometernas rörelse , i synnerhet den stora kometen 1577, var oförenlig med existensen av solida himmelska sfärer [6] . Som en bekväm matematisk modell återstod en himmelssfär , med hjälp av vilken astronomer fram till denna dag representerar de uppenbara positionerna för stjärnor och planeter.

Sfär i 3D-rymden

Ekvationen för en sfär i ett rektangulärt koordinatsystem är :

(x-x_{0})^{2}+(y-y_{0})^{2}+(z-z_{0})^{2}=R^{2},

var är koordinaterna för sfärens centrum, är dess radie. $(x_{0},y_{0},z_{0})$ $R$

Parametrisk ekvation för en sfär centrerad i en punkt : $(x_{0},y_{0},z_{0})$

{\begin{cases}x=x_{0}+R\cdot \sin \theta \cdot \cos \phi ,\\y=y_{0}+R\cdot \sin \theta \cdot \sin \phi , \\z=z_{0}+R\cdot \cos \theta ,\\\end{cases}}

var och $\theta \i [0,\pi ]$ $\phi \in [0,2\pi ).$

Den Gaussiska krökningen av en sfär är konstant och lika med 1/ R² .

Koordinater för en sfär som passerar genom givna punkter

Genom fyra punkter i rymden kan det bara finnas en sfär med centrum $M_{1}(x_{1},y_{1},z_{1})\,;\,M_{2}(x_{2},y_{2},z_{2})\, ;\,M_{3}(x_{3},y_{3},z_{3})\,;\,M_{4}(x_{4},y_{4},z_{4})\,$

x_{0}={\frac {1}{2}}\cdot {\frac {A_{x}-B_{x}+C_{x}-D_{x}}{U+V+W }}

y_{0}={\frac {1}{2}}\cdot {\frac {A_{y}-B_{y}+C_{y}-D_{y}}{U+V+W }}

z_{0}={\frac {1}{2}}\cdot {\frac {A_{z}-B_{z}+C_{z}-D_{z}}{U+V+W }}

var:

U=(z_{1}-z_{2})(x_{3}y_{4}-x_{4}y_{3})-(z_{2}-z_{3})(x_{ 4}y_{1}-x_{1}y_{4})

V=(z_{3}-z_{4})(x_{1}y_{2}-x_{2}y_{1})-(z_{4}-z_{1})(x_{ 2}y_{3}-x_{3}y_{2})

W=(z_{1}-z_{3})(x_{4}y_{2}-x_{2}y_{4})-(z_{2}-z_{4})(x_{ 1}y_{3}-x_{3}y_{1})

A_{x}=(x_{1}^{2}+y_{1}^{2}+z_{1}^{2})[y_{2}(z_{3}-z_{4 })+y_{3}(z_{4}-z_{2})+y_{4}(z_{2}-z_{3})]

B_{x}=(x_{2}^{2}+y_{2}^{2}+z_{2}^{2})[y_{3}(z_{4}-z_{1 })+y_{4}(z_{1}-z_{3})+y_{1}(z_{3}-z_{4})]

C_{x}=(x_{3}^{2}+y_{3}^{2}+z_{3}^{2})[y_{4}(z_{1}-z_{2 })+y_{1}(z_{2}-z_{4})+y_{2}(z_{4}-z_{1})]

D_{x}=(x_{4}^{2}+y_{4}^{2}+z_{4}^{2})[y_{1}(z_{2}-z_{3 })+y_{2}(z_{3}-z_{1})+y_{3}(z_{1}-z_{2})]

A_{y}=(x_{1}^{2}+y_{1}^{2}+z_{1}^{2})[z_{2}(x_{3}-x_{4 })+z_{3}(x_{4}-x_{2})+z_{4}(x_{2}-x_{3})]

B_{y}=(x_{2}^{2}+y_{2}^{2}+z_{2}^{2})[z_{3}(x_{4}-x_{1 })+z_{4}(x_{1}-x_{3})+z_{1}(x_{3}-x_{4})]

C_{y}=(x_{3}^{2}+y_{3}^{2}+z_{3}^{2})[z_{4}(x_{1}-x_{2 })+z_{1}(x_{2}-x_{4})+z_{2}(x_{4}-x_{1})]

D_{y}=(x_{4}^{2}+y_{4}^{2}+z_{4}^{2})[z_{1}(x_{2}-x_{3 })+z_{2}(x_{3}-x_{1})+z_{3}(x_{1}-x_{2})]

A_{z}=(x_{1}^{2}+y_{1}^{2}+z_{1}^{2})[x_{2}(y_{3}-y_{4 })+x_{3}(y_{4}-y_{2})+x_{4}(y_{2}-y_{3})]

B_{z}=(x_{2}^{2}+y_{2}^{2}+z_{2}^{2})[x_{3}(y_{4}-y_{1 })+x_{4}(y_{1}-y_{3})+x_{1}(y_{3}-y_{4})]

C_{z}=(x_{3}^{2}+y_{3}^{2}+z_{3}^{2})[x_{4}(y_{1}-y_{2 })+x_{1}(y_{2}-y_{4})+x_{2}(y_{4}-y_{1})]

D_{z}=(x_{4}^{2}+y_{4}^{2}+z_{4}^{2})[x_{1}(y_{2}-y_{3 })+x_{2}(y_{3}-y_{1})+x_{3}(y_{1}-y_{2})]

Radie för denna sfär:

R={\sqrt {(x_{1}-x_{0})^{2}+(y_{1}-y_{0})^{2}+(z_{1}-z_{0 })^{2}}}

Grundläggande geometriska formler

Ytarea av en sfär

S=4\pi r^{2}=\pi d^{2}

Full hel vinkel av en sfär

\Omega =4\pi

steradian kvm. grader.

\approx 41253

Volymen av en sfär som avgränsas av en sfär

V={\frac {4}{3}}\pi r^{3}={\frac {\pi }{6}}d^{3}.

Höjd sfär segment område

H

S=2\pi rH

Geometri på en sfär

En cirkel som ligger på en sfär vars centrum sammanfaller med sfärens centrum kallas sfärens storcirkel (storcirkel). Stora cirklar är geodetiska linjer på sfären; två av dem skär varandra vid två punkter. Med andra ord, sfärens stora cirklar är analoger av raka linjer på planet, avståndet mellan punkter på sfären är längden på bågen av den stora cirkeln som passerar genom dem. Vinkeln mellan linjerna på planet motsvarar den dihedriska vinkeln mellan storcirkelplanen. Många geometrisatser på planet är också giltiga i sfärisk geometri, det finns analoger till sinussatsen , cosinussatser för sfäriska trianglar . Samtidigt finns det många skillnader, till exempel i en sfärisk triangel är summan av vinklarna alltid större än 180 grader, till de tre likhetstecken för trianglar läggs deras likhet i tre vinklar, en sfärisk triangel kan ha två eller till och med tre räta vinklar - till exempel en sfärisk triangel som bildas av ekvatorn och meridianerna 0° och 90°.

Avståndet mellan två punkter på en sfär

Med tanke på de sfäriska koordinaterna för två punkter kan avståndet mellan dem hittas enligt följande:

L=R\cdot \arccos(\cos \theta _{1}\cdot \cos \theta _{2}+\sin \theta _{1}\cdot \sin \theta _{2}\cdot \cos( \phi _{1}-\phi _{2})).

Men om vinkeln inte ges mellan Z -axeln och vektorn till sfärens punkt, utan mellan denna vektor och XY- planet (som är vanligt i jordkoordinater givna av latitud och longitud), så kommer formeln att vara som följer: $\theta$

L=R\cdot \arccos(\sin \theta _{1}\cdot \sin \theta _{2}+\cos \theta _{1}\cdot \cos \theta _{2}\cdot \cos( \phi _{1}-\phi _{2})).

I det här fallet kallas och latituder , och och longituder . $\theta _{1}$ $\theta _{2}$ $\phi _{1}$ $\phi _{2}$

n -dimensionell sfär

I allmänhet är ekvationen för en ( n −1)-dimensionell sfär (i n - dimensionell euklidisk rymd ):

\summa _{i=1}^{n}(x_{i}-a_{i})^{2}=r^{2},

var är sfärens centrum och a är radien. $(a_{1},...,a_{n})$ $r$

Skärningen mellan två n -dimensionella sfärer är en ( n − 1)-dimensionell sfär som ligger på dessa sfärers radikala hyperplan .

I ett n -dimensionellt utrymme kan inte mer än n + 1 sfärer vidröra varandra i par (vid olika punkter) .

En n - dimensionell inversion tar en ( n −1)-dimensionell sfär till en ( n −1)-dimensionell sfär eller hyperplan .

Ett av millennieproblemen är kopplat till den tredimensionella sfären - Poincaré-förmodan , som säger att varje enkelt sammankopplat kompakt tredimensionellt grenrör utan gräns är homeomorft till en sådan sfär. Denna gissning bevisades av G. Ya. Perelman i början av 2000-talet baserat på resultaten av Richard Hamilton .

Se även

Anteckningar

↑ Dvoretskys antika grekisk-ryska ordbok "σφαῖρα" (otillgänglig länk) . Hämtad 17 juni 2019. Arkiverad från originalet 25 mars 2016. (obestämd)
↑ Klimishin I. A. Våra dagars astronomi . - 3:e uppl. - M . : Nauka , 1986. - S. 30 -33. — 55 400 exemplar.
↑ Pauli W. Inflytandet av arketypiska idéer på bildandet av naturvetenskapliga teorier av Kepler // Fysiska essäer. — M .: Nauka , 1975.
↑ Original latinsk text av citatet: "Dei trinuni imago in Sphærica superficie, Patris scilicet in centro, Filij in superficie, Spiritus in æqualitate σχέσεως inter punctum & ambitum". Se: Kepler J. Mysterium Cosmographicum (neopr.) . - 1596. - S. 19. Arkivexemplar daterad 30 maj 2014 på Wayback Machine
↑ Shevchenko V.V. Himmelsk musik // Jorden och universum . - 1973. - Nr 4 . - S. 56-58 .
↑ Tycho Brahe. Självbiografi // Historisk och astronomisk forskning / Ed. ed. L.E. Maistrov. - M . : Nauka , 1984. - T. XVII . - S. 393-394 .

Länkar

Kompakta ytor och deras nedsänkning i tredimensionellt utrymme

Homeoformitetsklassen för en kompakt triangulerad yta bestäms av orienterbarhet, antalet gränskomponenter och Euler-karakteristiken.

ingen gräns

Orienterbar	Sfär (släkte 0) Thor (släkte 1) "Åtta" (släkte 2) " Kringla " (släkte 3) ...
Icke-orienterbar	Riktigt projektivt plan släkte 1; Stridsyta romersk yta Klein flaska (släkte 2) Dick yta (släkte 3) ...

med gräns

Disk
- hemisfär
Band
- Ringa
- Cylinder
Mobius-remsan
- Möbiusremsa
Sfär med tre hål...

Relaterade
begrepp

Egenskaper	Anslutningsmöjligheter kompakthet Triangulering eller jämnhet Orienterbarhet
Egenskaper	Antal kantkomponenter Släkte Euler-karaktär
Operationer	Ansluten summa hålskärning Sticker i handtaget Fastsättning av Möbiusremsan Nedsänkning

Ordböcker och uppslagsverk	Stor dansk Stor norsk Stor ryss Britannica (online)
I bibliografiska kataloger	BNF : 119812876 GND : 4165914-4 J9U : 987007565817805171 LCCN : sh85126590