Kardinal sinus

Kardinal sinus , sinc (av lat. sinus cardinalis ) - matematisk funktion . Betecknas med sinc( x ) . Den har två definitioner - för den normaliserade respektive icke- normaliserade sinc- funktionen :

Inom digital signalbehandling och kommunikationsteori definieras vanligen den normaliserade sinc- funktionen som $\operatorname{sinc}\left( x \right)=\left\{ \begin{array}{*{35}l} \frac{\sin \left( \pi x \right)}{\pi x} & ; & x\ne 0 \\ 1 & ; & x=0 \\ \end{array} \right.$
I matematik definieras den onormaliserade sinc - funktionen som $\operatorname{sinc}\left( x \right)=\left\{ \begin{array}{*{35}l} \frac{\sin \left( x \right)}{x} & ; & x\ne 0 \\ 1 & ; & x=0 \\ \end{array} \right.$

Normaliseringen av funktionen utförs från tillståndet:

\int \limits _{-\infty }^{+\infty }{\frac {\sin ax}{ax))\,dx=1

var $a=\pi .$

för icke-normaliserad funktion ( ): $a=1$

\int \limits _{-\infty }^{+\infty }{\frac {\sin x}{x}}\,dx=\pi .

I båda fallen är värdet på funktionen vid singularispunkten x = 0 uttryckligen satt till ett ( se Remarkable Limits ). Således är sinc- funktionen analytisk för alla värden i argumentet.

Egenskaper

Den normaliserade sinc-funktionen har följande egenskaper:

$\operatörsnamn{sinc}\left(0\right) = 1$ och för alla och ( heltal ); det vill säga det är en interpolant . $\operatörsnamn{sinc}\left(k\right) = 0$ $k\neq 0$ $k\in\mathbb{Z}$

funktionerna utgör en ortonormal grund för funktionerna i funktionsrummet , med den högsta cirkulära frekvensen . $x_k\left(t\right)=\operatörsnamn{sinc}\left(tk\right)$ $L^2\vänster(\R\höger)$ $\omega_H = \pi$

Det lokala maximum och minimum för den onormaliserade funktionen sinc sammanfaller med värdena för cosinus, det vill säga när derivatan är lika med noll (lokalt extremum vid punkten ), är villkoret uppfyllt . $\frac{\sin x}{x}$ $x=a$ $\frac{\sin a}{a} = \cos a$

Den onormaliserade sinc-funktionen försvinner när argumentet är en multipel av π , medan den normaliserade sinc- funktionen försvinner när argumentet är ett heltal.

Integralens sinus definieras genom integralen av funktionen sinc( x ) .

Den kontinuerliga Fouriertransformen av en normaliserad funktion (för ett enhetsfrekvensintervall) är lika med en rektangulär funktion . $\operatörsnamn{sinc}\left(x\right) = \frac{\sin \pi x}{\pi x}$ $\operatörsnamn{rect}\left(f\right)$

\int\limits_{-\infty}^\infty \operatörsnamn{sinc}\left(t\right)\,e^{-2\pi ift}dt = \operatörsnamn{rect}\left(f\right)

, där en rektangulär funktion är en funktion som tar värdet 1 för ett argument mellan −1 och 1/2, och är lika med noll för något annat värde i argumentet.

Nedbrytning till en oändlig produkt :

\operatörsnamn{sinc}\left(x\right) = \frac{\sin \pi x}{\pi x} = \prod_{n=1}^\infty \left(1 - \frac{x^2} {n^2}\right)

Uttryck i termer av gammafunktionen :

\operatörsnamn{sinc}(x) = \frac{\sin \pi x}{\pi x} = \frac{1}{\Gamma\left(1+x\right)\Gamma\left(1-x\ höger)}

var är gammafunktionen.

\gamma\vänster(x\höger)

Användning och applikationer

Som Fouriertransform av en rektangulär funktion uppstår sinc-funktionen i problemet med vågutbredning från närfältet till det avlägsna fältet ( Fraunhofer -diffraktion , slitsdiffraktion ). sinc-funktionen finns i antennteori , radar , akustik etc.
E. T. Whittaker visade att sinc-funktionen spelar en central roll i teorin om interpolation på ett rutnät av ekvidistanta punkter.
I kommunikationsteori låter sinc-funktionen dig ofta återställa en analog signal från dess sampel unikt och utan förlust ( Kotelnikovs sats ).
Samma idé ligger till grund för Lanczos-filtret , som framför allt används för att sampla om signaler.
Man försöker ofta minska effekten av modulens sekundära maxima som resulterar i oönskade sidolober i strålningsmönstret .
Kvadraten på sinc-funktionen används ofta, vilket ger intensiteten eller effekten av signalen vars amplitud beskrivs av sinc-funktionen.
Eftersom värden minskar snabbt när argumentet ökar, representeras ofta kvadraten på sinc-funktionen på en logaritmisk skala .

Signalbehandling

Ett sinc-filter är ett idealiskt elektroniskt filter som undertrycker alla frekvenser i signalspektrat över en viss gränsfrekvens , och lämnar alla frekvenser under den frekvensen oförändrade. I frekvensdomänen ( AFC ) finns en rektangulär funktion , och i tidsdomänen (impulssvar) är en sinc-funktion.

Kardinal sinus

Egenskaper

Användning och applikationer

Signalbehandling

Se även