Rektangulär funktion

Den aktuella versionen av sidan har ännu inte granskats av erfarna bidragsgivare och kan skilja sig väsentligt från versionen som granskades den 9 februari 2018; kontroller kräver 3 redigeringar .

Rektangulär funktion , enhetsimpuls , rektangulär impuls , eller normaliserat rektangulärt fönster är en styckvis konstant funktion av följande form:

\mathrm {rect} (t)=\sqcap (t)={\begin{cases}0,&|t|>{\frac {1}{2}}\\[3pt]{\frac { 1}{2)),&|t|={\frac {1}{2}}\\[3pt]1,&|t|<{\frac {1}{2}}\end{cases}}

I denna definition, vid brytpunkterna, är värdet på funktionen definierat till 1/2, men det är möjligt att definiera dessa värden på ett annat sätt, till exempel lika med 0 och andra alternativ.

En annan definition av en funktion är via Heaviside-funktionen : $\theta (t)$

\mathrm {rect} \left({\frac {t}{\tau }}\right)=\theta \left(t+{\frac {\tau }{2}}\right)-\theta \ vänster(t-{\frac {\tau }{2}}\höger),

eller annars:

\mathrm {rect} (t)=\theta \left(t+{\frac {1}{2}}\right)-\theta \left(t-{\frac {1}{2}}\ höger).

Värdet på en funktion vid brytpunkter beror på definitionen av värdet på Heaviside-funktionen vid dess brytpunkt.

Integral av en rektangulär funktion över hela linjen:

\int \limits _{-\infty }^{\infty }\mathrm {rect} (t)\,dt=1.

Spektrum för en rektangulär funktion

Spektralbild av en rektangulär funktion:

{\frac {1}{\sqrt {2\pi ))}\int \limits _{-\infty }^{\infty }\mathrm {rect} (t)\cdot e^{-i\ omega t}\,dt={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\cdot \mathrm {sinc} \left({\frac {\omega }{2}}\right),

\mathrm {sinc} \left({\frac {\omega }{2}}\right)={\frac {\mathrm {sin} \left(\omega /2\right)}{\left( \omega /2\right)}}

är den onormaliserade sinc-funktionen .

När du använder den normaliserade sinc-funktionen:

\int \limits _{-\infty }^{\infty }\mathrm {rect} (t)\cdot e^{-i2\pi ft}\,dt=\mathrm {sinc} (f).

Konvolution av rektangulära funktioner

En triangulär funktion kan definieras som faltningen av två rektangulära funktioner:

\mathrm {tri} (t)=\mathrm {rect} (t)*\mathrm {rect} (t)\;.

På grundval av oändliga faltningar av rektangulära funktioner, vars längder minskar exponentiellt , byggs atomfunktioner .

Se även