Integraloperatörens kärna

Kärnan i en integraloperator ( Fredholm kernel [1] ) är en funktion av två argument , som definierar en viss integraloperator genom likheten $K(x,\;y)$ $\mathcal{A}$

\varphi (y)={\mathcal {A}}[\varphi (x)]=\int K(x,\;y)\varphi (x)\,d\mu (x),

där är ett utrymme med mått och tillhör något utrymme av funktioner definierade på . $x\in \mathbb {X}$ $d\mu(x)$ $\varphi(x)$ $\mathbb{X}$

Exempel

En kärna kallas en -kärna om den uppfyller villkoret: $K(x,\;y)$ $L_{2}$

\int \limits _{D}\int \limits _{D}|K(x,\;y)|^{2}\,dx\,dy<+\infty ,

var finns en mätbar funktion . $K(x,\;y)$ $D$

Sådana kärnor är huvudämnet för övervägande i teorin om integralekvationer .

En kärna som uppfyller villkoret:

K(x,\;y)\equiv 0

på

y>x

kallas kärnan i Volterra .

En symmetrisk kärna är en kärna för vilken identiteten gäller . $K(x,\;y)=K(y,\;x)$
Om identiteten gäller , var är komplexet konjugat till , kallas en sådan kärna Hermitian . $K(x,\;y)={\överlinje {K(y,\;x)))$ ${\overline {K(y,\;x)))$ $K(x,\;y)$
Om kärnan medger en nedbrytning av formen: $K(x,\;y)$

K(x,\;y)=\summa _{k=1}^{n}X_{k}(x)Y_{k}(y),

där finns två system av linjärt oberoende kvadratintegrerbara funktioner ( -funktioner), en sådan kärna kallas Pinkerle - Goursat kärna eller PG-kärna . ${\displaystyle \{X_{i}(x)\},\;\{Y_{i}(y)\))$ $(i=1,\;2,\;\ldots ,\;n)$ $L_{2}$

Relaterade definitioner

Spektrum för en kärna är mängden av dess egenvärden .

Mercers teorem

Mercers kärnnedbrytningssats säger:

Om den symmetriska -kärnan är kontinuerlig och bara har positiva egenvärden (eller högst ett ändligt antal negativa egenvärden) så gäller följande representation: $L_{2}$ $K(x,\;y)$ $\lambda_k$

K(x,\;y)=\summa _{k=1}^{\infty }{\frac {\varphi _{k}(x)\varphi _{k}(y)}{\ lambda _{k}}},

var är ett ortogonalt system av -funktioner. Serien konvergerar absolut och enhetligt . ${\displaystyle \{\varphi _{k}(x)\))$ $L_{2}$

Litteratur

Trikomi F. Integralekvationer. - M . : Förlag för utländsk litteratur, 1960. - 300 sid.
Polyanin A. D., Manzhirov A. V. Handbok för integralekvationer. - M. : FIZMATLIT, 2003. - 608 sid. — ISBN 5-9221-0288-5 . .
Polyanin A. D., Manzhirov A. V. Handbok för integralekvationer: Exakta lösningar. - M . : Factorial, 1998. - 432 sid. — ISBN 5-88688-024-0 . .

Anteckningar

↑ Matematisk uppslagsverk /red. I. M. Vinogradova. - M. : Mir, 1985. - T. 5. - S. 660. - 1060 sid.