Fredholm integraloperatör

Fredholms integraloperator är en helt kontinuerlig linjär integraloperator av formen

(Af)(x)=\int _{G}K(x,t)f(t)\,dt,

mappa ett funktionsutrymme till ett annat. Här är en region i det euklidiska rummet , är en funktion definierad på en kartesisk kvadrat , kallad kärnan av integraloperatorn [1] . För fullständig kontinuitet för operatören införs ytterligare begränsningar för kärnan . Oftast betraktas kontinuerliga kärnor [2] , -kärnor [3] [4] och även polära kärnor [2] [5] . Fredholms integraloperator och dess egenskaper används för att lösa Fredholms integralekvation . $G$ $\mathbb {R} ^{n}$ $K(x,t)$ $G\times G$ $A$ $K(x, y)$ $L_{2}$

Egenskaper

Linjäritet

Fredholms integraloperator är linjär , det vill säga . $A(\alpha f+\beta g)=\alpha Af+\beta Ag$

Kontinuitet

En integraloperator med kontinuerlig på [6] kärna , mappar till (och följaktligen till och till ) och är avgränsad (kontinuerlig), och ${\bar {G}}\times {\bar {G}}$ $K(x, y)$ $L_2(G)$ $C(\bar G)$ $C(\bar G)$ $C(\bar G)$ $L_2(G)$ $L_2(G)$

\|Af\|_{C}\leq M{\sqrt {V}}\|f\|_{L_{2}},\quad f\in L_{2}(G),

\|Af\|_{C}\leq MV\|f\|_{C},\quad f\in C({\bar {G))),

\|Af\|_{L_{2}}\leq MV\|f\|_{L_{2}},\quad f\in L_{2}(G),

var

M=\max \limits _{x\in {\bar {G)),\,y\in {\bar {G))}|K(x,y)|,\quad V=\int _{G}dy.

[7] .

Integral operator med -kärna: $L_{2}$

\int _{G}\int _{G}|K(x,y)|^{2}dx\,dy\leq N^{2}<\infty

översätts till , är kontinuerlig och uppfyller uppskattningen: $L_2(G)$ $L_2(G)$

\|Af\|_{L_{2}}\leq N\|f\|_{L_{2}}.

[1] [8]

Det finns kontinuitetsvillkor för integrerade operatörer från till . [9] $L_{p}$ ${\displaystyle L_{q))$

Ganska kontinuitet

En integraloperator med en kontinuerlig kärna är helt kontinuerlig från till , det vill säga den tar vilken uppsättning som helst som är bunden till en uppsättning som är prekompakt i [10] . Helt kontinuerliga operatörer är anmärkningsvärda genom att Fredholmsalternativet håller för dem . En integraloperator med en kontinuerlig kärna är gränsen för en sekvens av finitdimensionella operatorer med degenererade kärnor. Liknande påståenden gäller för en integraloperator med -kärna. [elva] $K(x, y)$ $L_2(G)$ $C(\bar G)$ $L_2(G)$ $C(\bar G)$ $L_{2}$

Det finns också svagare tillräckliga förutsättningar för fullständig kontinuitet (kompakthet) för en integrerad operatör från till . [12] $L_{p}$ ${\displaystyle L_{q))$

Adjoint operator

Den adjoint-operatorn till en operator med -kärna i ett Hilbert-utrymme har formen $A$ $L_{2}$ $L_2(G)$

(A^{*}f)(x)=\int _{G}{\overline {K(y,x)))f(y)\,dy.

Om , då är Fredholms integraloperator självadjoint [1] [11] $K(x,y)={\överlinje {K(y,x)))$ $A$

Omvänd operator

För tillräckligt små värden har operatorn (där är identitetsoperatorn ) en invers form , där är Fredholms integraloperator med kärna , kärnans upplösning [13] . $|\lambda|$ $I-\lambda A$ $jag$ $I+\lambda R$ $R$ $R(x, y, \lambda)$ $K(x, y)$

Se även

Anteckningar

↑ 1 2 3 Khvedelidze, 1979 .
↑ 1 2 Vladimirov, 1981 , kapitel IV.
↑ Tricomi, 1960 .
↑ Kolmogorov, Fomin, 1976 , kapitel IX.
↑ Manzhirov, Polyanin, 2000 .
↑ - områdesstängning _ $\bar G$ $G$
↑ Vladimirov, 1981 , sid. 272.
↑ Tricomi, 1960 , § 1.6.
↑ Manzhirov, Polyanin, 2000 , § 9.3-1.
↑ Vladimirov, 1981 , § 19.
↑ 1 2 Kolmogorov, Fomin, 1976 , kapitel IX, § 2.
↑ Manzhirov, Polyanin, 2000 , § 9.3-2.
↑ Vladimirov, 1981 , § 17.

Litteratur

Khvedelidze B. V. . Integraloperator // Matematisk uppslagsverk : [i 5 volymer] / Kap. ed. I. M. Vinogradov . - M . : Soviet Encyclopedia, 1979. - T. 2: D - Koo. - 1104 stb. : sjuk. — 150 000 exemplar.
Vladimirov V.S. Ekvationer av matematisk fysik. 4:e uppl. - M . : Nauka, Ch. ed. Phys.-Matte. litteratur, 1981. - 512 sid.
Tricomi F. Integralekvationer. Per. från engelska .. - M . : Izd-vo inostr. litteratur, 1960.
Manzhirov A.V., Polyanin A.D. . Handbok i integralekvationer: Lösningsmetoder. - M . : Factorial Press, 2000. - 384 sid. - ISBN 5-88688-046-1 .
Kolmogorov A. N. , Fomin S. V. . Element i funktionsteori och funktionsanalys. — Vetenskap, kap. ed. Phys.-Matte. liter. - M. , 1976.