Topologisk K-teori

I matematik är topologisk K-teori en delmängd av algebraisk topologi . Tidigt i sin existens tillämpades det på studiet av vektorbuntar på topologiska utrymmen med idéer som nu erkänns som en del av den (allmänna) K-teorin introducerad av Alexander Grothendieck . Det tidiga arbetet med topologisk K-teori är av Michael Atiyah och Friedrich Hirzebruch .

Definitioner

Låt X vara ett kompakt Hausdorff-utrymme och eller . Sedan definieras som Grothendieck-gruppen av en kommutativ monoid av finita -dimensionella -vektorbuntar över X med en Whitney-summa . Tensorprodukten av buntar definierar strukturen av en kommutativ ring på K-teori . Utan index betecknar vanligtvis komplex K -teori, medan verklig K - teori ibland betecknas som . Därefter överväger vi komplex K -teori. $k=\mathbb {R}$ $\mathbb {C}$ $K_{k}(X)$ $k$ $K(X)$ $KO(X)$

Som ett första exempel, notera att K -teorin för en punkt är heltal. Detta beror på det faktum att alla vektorbuntar över en punkt är triviala och därför klassificeras efter sin rang, medan Grothendieck-gruppen av naturliga tal är ett heltal.

Det finns en reducerad version av K- teorin, , som definieras för X , kompakta utrymmen med en distingerad punkt (jfr den reducerade homologin ). Teorin som ges kan intuitivt ses som K ( X ) modulo triviala buntar . Den definieras som gruppen av stabila ekvivalensklasser av buntar. Två buntar E och F sägs vara stabilt isomorfa om det finns triviala buntar och , så att . Denna ekvivalensrelation definierar en gruppstruktur på uppsättningen vektorbuntar, eftersom varje vektorbunt kan kompletteras till en trivialbunt genom summering med dess ortogonalt komplement. Å andra sidan, kan definieras som kärnan i mappningen som induceras genom att bädda in baspunkten x 0 i X. ${\widetilde {K}}(X)$ $\varepsilon_{1}$ $\varepsilon _{2}$ ${\displaystyle E\oplus \varepsilon _{1}\cong F\oplus \varepsilon _{2))$ ${\widetilde {K}}(X)$ $K(X)\to K(x_{0})\cong \mathbb {Z}$

K -teori är en multiplikativ (generaliserad) kohomologisk teori. Kort exakt sekvens av mellanslag med distingerad punkt ( X , A )

{\widetilde {K}}(X/A)\to {\widetilde {K}}(X)\to {\widetilde {K}}(A)

Fortsätter till en lång exakt sekvens

\cdots \to {\widetilde {K}}(SX)\to {\widetilde {K}}(SA)\to {\widetilde {K}}(X/A)\to {\widetilde {K }} }}(X)\till {\widetilde {K}}(A).

Låt S n vara den n :te reducerade upphängningen av utrymmet. Sedan definierar vi:

{\widetilde {K}}^{-n}(X):={\widetilde {K}}(S^{n}X),\qquad n\geq 0.

Negativa index väljs på ett sådant sätt att coboundary- kartläggningen ökar dimensionen.

Det är ofta vettigt att överväga den icke-reducerade versionen av dessa grupper, definierade som:

K^{-n}(X)={\widetilde {K}}^{-n}(X_{+}).

Där det är med en separat markerad punkt markerad med ett "+"-tecken. [ett] ${\displaystyle X_{+))$ $X$

Slutligen ger Botts periodicitetssats, formulerad nedan, oss teorier med positiva index.

Egenskaper

K n respektiveär kontravarianta funktorer från kategorin homotopi av utrymmen (med en distingerad punkt) till kategorin kommutativa ringar. Därför ärtill exempel en K - teori över sammandragbara utrymmen ${\widetilde {K}}^{n}$ $\mathbb {Z} .$

Spektrum av K -teorin är (med diskret topologi på ), d.v.s. där [, ] betecknar kartläggningsklasser av märkta utrymmen upp till homotopi, och BU är en gräns för klassificering av utrymmen av enhetliga grupper : På samma sätt, $BU\times \mathbb {Z}$ $\mathbb {Z}$ $K(X)\cong \left[X^{+},\mathbb {Z} \times BU\right],$ $BU(n)\cong \operatörsnamn {Gr} \left(n,\mathbb {C} ^{\infty }\right).$

{\widetilde {K}}(X)\cong [X,\mathbb {Z} \times BU].

För den verkliga K- teorin används utrymmet BO .

Analogen till Steenrod-operationer i K -teorin är Adams-operationerna . De kan användas för att definiera karakteristiska klasser i topologisk K - teori.

Uppdelningsprincipen i topologisk K -teori tillåter oss att reducera påståenden om godtyckliga vektorbuntar till påståenden om summor av endimensionella buntar.

Thom-isomorfismen i topologisk K - teori är:

K(X)\cong {\widetilde {K}}(T(E)),

där T ( E ) är Thom-utrymmet för vektorbunten E över X. Detta gäller när E är ett spinnbunt.

Atiyah-Hirzebruch-spektralsekvensen tillåter beräkning av K -grupper från de vanliga kohomologigrupperna.

Topologisk K -teori kan generaliseras till en funktor på C*-algebror .

Botts periodicitet

Periodicitet , uppkallad efter Raoul Botta , kan formuleras enligt följande:

$K(X\times \mathbb {S} ^{2})=K(X)\otimes K(\mathbb {S} ^{2}),$ och , där H är klassen för den tautologiska bunten på det vill säga på Riemann-sfären . ${\displaystyle K(\mathbb {S} ^{2})=\mathbb {Z} [H]/(H-1)^{2))$ $\mathbb {S} ^{2}=\mathbb {P} ^{1}(\mathbb {C} ),$

${\widetilde {K}}^{n+2}(X)={\widetilde {K}}^{n}(X).$

$\Omega ^{2}BU\cong BU\times \mathbb {Z} .$

I den verkliga K- teorin finns en liknande periodicitet, bara modulo 8.

Applikationer

De två mest kända tillämpningarna av topologisk K -teori beror på Frank Adams . Han löste först problemet med identiteten Hopf invariant genom att göra beräkningar med Adams operationer . Han visade sedan en övre gräns för antalet linjärt oberoende vektorfält på sfärer.

Zhens karaktär

Michael Atiyah och Friedrich Hirzebruch bevisade ett teorem som relaterar den topologiska K-teorin för ett CW-komplex till dess rationella kohomologi. I synnerhet visade de att det finns en homomorfism $X$

ch:K_{\text{top}}^{*}(X)\otimes \mathbb {Q} \to H^{*}(X;\mathbb {Q} )

Så att

{\begin{aligned}K_{\text{top}}^{0}(X)\otimes \mathbb {Q} &\cong \bigoplus _{k}H^{2k}(X;\mathbb} {Q} )\\K_{\text{top}}^{1}(X)\otimes \mathbb {Q} &\cong \bigoplus _{k}H^{2k+1}(X;\mathbb { Q} )\end{aligned}}

Det finns en algebraisk analog som förbinder Grothendieck-gruppen av koherenta remsor och Chow-ringen av en jämn projektiv sort . $X$

Se även

Atiyah-Singer indexsats

Länkar

↑ [1] . Arkiverad 17 april 2018 på Wayback Machine

Litteratur

Atiyah, Michael Francis. K-teori. — 2:a. - Addison-Wesley , 1989. - (Avancerade bokklassiker). - ISBN 978-0-201-09394-0 .
Handbok för K-teori. - Springer-Verlag , 2005. - ISBN 978-3-540-30436-4 .
Karoubi, Max. K-teori: en introduktion. - Springer-Verlag , 1978. - ISBN 0-387-08090-2 .
Hatcher. Vektorpaket & K-teori . (obestämd)
Stykow. K-teoris kopplingar till geometri och topologi . (obestämd)
Karoubi, Max (2006), K-teori. En elementär introduktion, arΧiv : math/0602082 .