Kokkärna

I kategoriteorin är kokkärnan det dubbla konceptet av kärnan - kärnan är subobjektet till förbilden, och kokkärnan är kvoten för ankomstdomänen. Intuitivt, när man letar efter en lösning på en ekvation, bestämmer kokkärnan antalet begränsningar som y måste uppfylla för att den givna ekvationen ska ha en lösning. $f(x)=y$

Definition

Låt C vara en kategori med noll morfismer . Då är kokkärnan för morfismen f : X → Y densammas utjämnare och nollmorfismen 0 : X → Y . Mer uttryckligen gäller följande generiska egenskap :

En kokkärna f : X → Y är en morfism q : Y → Q sådan att:

qo f är nollmorfismen från X till Q ;

För varje morfism sådan att - noll finns en unik morfism så att följande diagram är kommutativt: $q':Y\till Q'$ $q'\cirkel f$ $u:Q\to Q'$

Liksom andra universella konstruktioner existerar inte kokkärnan alltid, men om den finns definieras den upp till isomorfism.

Som alla coequalizers är en kokkärna alltid en epimorfism . Omvänt kallas en epimorfism normal (ibland konormal) om den är kokkärnan till någon morfism. En kategori kallas konormal om varje epimorfism i den är normal.

Särskilda tillfällen

I en Abelisk kategori ges bilden och sambilden av en morfism som

{\mathrm {im}}(f)=\ker({\mathrm {coker}}f)

{\mathrm {coim}}(f)={\mathrm {coker}}(\ker f)

I synnerhet är varje epimorfism sin egen kokkärna.

Litteratur

S. McLane Kategorier för en arbetande matematiker, - M . : FIZMATLIT, 2004. - 352 sid. — ISBN 5-9221-0400-4 .
Paolo Aluffi Algebra: Kapitel 0 (Forskarstudier i matematik). — 2009, ISBN 0-8218-4781-3 .