Kategoriobjekt

Kategoriobjekt - ett grundläggande, odefinierat koncept för kategoriteori , som används för att beteckna element i en kategori, som kan vara matematiska objekt , förenade av en given kategori till en mängd - dessa kan till exempel vara mängder (objekt i kategorin mängder ), algebraiska system av en viss klass (till exempel ringar är objekt i kategorin ringar ), topologiska utrymmen (objekt i kategorin topologiska utrymmen ), scheman (objekt i kategorin scheman ).

Förutom klassen av objekt består varje kategori också av en klass av morfismer — samlingar av transformationer av objekt; samtidigt kan morfismer av en kategori betraktas som objekt i någon annan, eller vice versa, det vill säga att uppdelningen av komponenterna i en kategori i objekt och morfismer är meningsfull endast inom en fast kategori.

För en given kategori betecknas klassen för dess objekt vanligtvis med . Varje objekt motsvarar en enda enhetsmorfism , dessutom unik i denna kategori, det vill säga enhetsmorfism för olika objekt kan inte sammanfalla. Tack vare detta faktum är det möjligt att definiera begreppet kategori utan att tillgripa introduktionen av objekt, utan bara med hjälp av morfismer. Dessutom, i konstruktionerna av teorin om högre kategorier , kallas objekt "0-morfismer", objektmorfismer (morfismer i vanlig mening) - "1-morfismer", morfismer av morfismer - "2-morfismer" och så på och därigenom betona föremålens allmängiltighet och deras transformationer i ett kategoriskt språk. Konceptet med ett kategoriobjekt är dock praktiskt för att beskriva motsvarande typ av element, så det används nästan alltid. ${\mathcal C}$ $Ob_{{\mathcal C}}$ $A\in Ob_{{\mathcal C}}$ $1_{A}\kolon A\till A$

Vissa typer av objekt

Ett objekt kallas ett universellt attraherande (terminalt) objekt om det finns en unik morfism för något objekt . $P\in Ob\,{\mathcal C}$ $A\in Ob\,{\mathcal C}$ $A{\stackrel {f}{\longrightarrow }}P$
Ett objekt kallas ett universellt frånstötande (initial, initialt) objekt om det finns en unik morfism för något objekt . $R\in Ob\,{\mathcal C}$ $A\in Ob\,{\mathcal C}$ $R{\stackrel {f}{\longrightarrow }}A$
Ett objekt kallas null om det är både universellt attraktivt och frånstötande. $R\in Ob\,{\mathcal C}$

Litteratur

McLane S. Kapitel 1. Kategorier, funktioner och naturliga transformationer // Kategorier för den arbetande matematikern / Per. från engelska. ed. V. A. Artamonova. - M . : Fizmatlit, 2004. - S. 17-42. — 352 sid. — ISBN 5-9221-0400-4 .