Starta objekt

(omdirigerad från " Initiala och terminalobjekt ")

Ett initialt objekt ( repulsivt objekt , initialt objekt ) är ett kategoriobjekt så att det för varje objekt finns en unik morfism . $jag$ ${\mathcal C}$ $X\in \mathrm {Ob} _{\mathcal {C))$ $I\to X$

Det dubbla konceptet är ett terminalobjekt ( attraktivt objekt ): ett objekt är terminalt om det för något objekt finns en unik morfism . $T$ $X\in \mathrm {Ob} _{\mathcal {C))$ $X\to T$

Om ett objekt är både initialt och terminalt kallas det ett null-objekt .

Den tomma uppsättningen är det enda initiala objektet i kategorin uppsättningar , singleton-uppsättningar ( singletons ) är terminalobjekt, det finns inga null-objekt. I kategorin markerade punktuppsättningar är singlar nollobjekt, precis som i kategorin markerade punkttopologiska rum.

De initiala och terminala objekten existerar inte i någon kategori, men om de existerar är de unikt definierade: om och är initiala objekt finns det en isomorfism mellan dem , och den enda. $I_1$ $I_{2}$

Terminalobjekten är gränserna för det tomma diagrammet , det vill säga de tomma produkterna . På liknande sätt är initiala objekt kogränser och tomma biprodukter. Av detta följer att en funktor som bevarar limits (colimits) bevarar terminala (initial) objekt, respektive. $\varnothing \to {\mathcal {C))$

Exempel

I kategorin grupper, såväl som i kategorierna abelska grupper, moduler över en ring och vektorrum, finns ett nollobjekt (i samband med vilket termen "nullobjekt" dök upp).

I kategorin ringar är ringen av heltal det initiala objektet och nollringen c är terminalobjektet. Det finns inga start- och slutelement i fältkategorin . Men i den fullständiga underkategorin av fält av egenskapen finns det ett initialt objekt - ett fält av element. $\mathbb {Z}$ $0=1$ $sid$ $sid$

I kategorin alla små kategorier (med funktorer som morfismer) är det initiala objektet den tomma kategorin, och terminalobjektet är kategorin med det enda objektet och morfismen. ${\mathbf 1}$

Varje topologiskt utrymme kan betraktas som en kategori vars objekt är öppna uppsättningar och mellan två öppna uppsättningar så att det finns en unik morfism. Den tomma uppsättningen är det initiala objektet för denna kategori, den terminala. För en sådan kategori av ett topologiskt utrymme och en godtycklig liten kategori bildar alla kontravarianta funktorer från till med naturliga transformationer en kategori som kallas kategorin preheaves på med koefficienter i . Om har ett initialt objekt , då den konstanta funktionsmappningen till är det initiala objektet för kategorin preheaves, det dubbla påståendet är också sant. $X$ $U\subset V$ $X$ $X$ ${\mathcal C}$ $X$ ${\mathcal C}$ $X$ ${\mathcal C}$ ${\mathcal C}$ $c$ $X$ $c$

I kategorin kretsar är spektrumet terminalobjektet och den tomma kretsen är det initiala objektet. $\mathbf {Spec} (Z)$

Initiala och terminala objekt kan också karakteriseras med universalpilar och angränsande funktorer . För en kategori med ett enda objekt och en (enkel) funktion är kategorins initiala objekt den universella pilen från till . Funktionen som skickar till är den vänstra anslutningen till . Följaktligen är terminalobjektet för kategorin den universella pilen från till , och den funktion som skickar till är den rätta adjointen för . Omvänt kan en generisk pil från till en funktion definieras som ett initialobjekt i kommakategorin . Dubbelt är en universell morfism från till ett terminalobjekt i . ${\mathbf 1}$ $\kula$ $U\colon {\mathcal {C}}\to \mathbf {1}$ $jag$ ${\mathcal C}$ $\kula$ $U$ $\kula$ $jag$ $U$ $T$ ${\mathcal C}$ $U$ $\kula$ $\kula$ $jag$ $U$ $X$ $U$ $(X\downarrow U)$ $U$ $X$ $(U\downarrow X)$

Litteratur

McLane S. Kapitel 1. Kategorier, funktioner och naturliga transformationer // Kategorier för den arbetande matematikern / Per. från engelska. ed. V. A. Artamonova. - M . : Fizmatlit, 2004. - S. 17-42. — 352 sid. — ISBN 5-9221-0400-4 .