Kommakategori

I kategoriteorin är kategorin kommatecken en speciell konstruktion som ger ett sätt att studera morfismer inte som korrelationer av kategoriobjekt med varandra, utan som oberoende objekt. Namnet "kommakategori" kom från den ursprungliga (uppfunnen av Lover ) beteckningen, som inkluderade ett kommatecken. Därefter har standardbeteckningen ändrats av bekvämlighetsskäl.

Definition

Allmänt fall

Låt och vara kategorier och låt och vara funktionärer ${\mathcal {A},{\mathcal {B}}$ ${\mathcal {C}}$ $S$ $T$

{\mathcal A}{\xrightarrow {\;\;S\;\;}}{\mathcal C}{\xleftarrow {\;\;T\;\;}}{\mathcal B}

En kommakategori kan konstrueras så här: $(S\nedåtpil T)$

Objekt är alla trippel av formen , där är ett objekt , är ett objekt och är en morfism till . $(\alfa ,\beta ,f)$ $\alfa$ $\mathcal{A}$ $\beta$ ${\mathcal {B}}$ $f:S(\alpha )\högerpil T(\beta )$ ${\mathcal {C}}$
Morfismer från till är alla par , där , är morfismer till respektive , så att följande diagram pendlar : $(\alfa ,\beta ,f)$ $(\alpha ',\beta ',f')$ $(g,h)$ $g:\alpha \högerpil \alpha '$ $h:\beta \rightarrow \beta '$ ${\mathcal {A}}$ ${\mathcal B}$

${\begin{matrix}S(\alpha )&{\xrightarrow {S(g)))&S(\alpha ')\\f{\Bigg \downarrow }&&{\Bigg \downarrow }f'\\T( \beta )&{\xrightarrow[ {T(h)}]{}}&T(\beta ')\end{matris}}$

Sammansättningen av morfismer tas som om det sista uttrycket är definierat. Ett objekts identitetsmorfism är . $(g,h)\cirkel (g',h')$ $(g\circ g',h\circ h')$ $(\alfa ,\beta ,f)$ $({\mathrm {id}}_{{\alpha }},{\mathrm {id}}_{{\beta }})$

Två specialfall

Låt oss överväga två specialfall, som är enklare och förekommer mycket ofta.

Det första fallet är kategorin objekt över $A$ . Låt i föregående definition vara identitetsfunktion och (kategori med ett objekt och en morfism). Sedan för något objekt i kategorin . I det här fallet används notationen . Visa objekt är helt enkelt par av , där . Ibland i denna situation betecknas de som . En morfism från till är en morfism som stänger följande diagram till ett kommutativt: ${\mathcal A}={\mathcal {C}}$ $S$ ${\mathcal {B}}={\textbf {1}}$ $*$ $T(*)=A$ $A$ ${\mathcal {C}}$ $({\mathcal {C}}\nedåtpil A)$ $(\alfa ,*,f)$ $(\alfa ,f)$ $f:\alpha \högerpil A$ $f$ $\pi _{\alpha }$ $(B,\pi _{B})$ $(B',\pi _{{B'}})$ $g:B\högerpil B'$

Det dubbla fallet är kategorin objekt under $A$ . Här är en funktionator på 1 och är identitetsfunktionären. I det här fallet används notationen , var är objektet som mappas till . Objekt är par , där . Morfismen mellan och är en mappning som stänger följande diagram till ett kommutativt: $S$ $T$ $(A\downarrow {\mathcal {C}})$ $A$ ${\mathcal {C}}$ $S$ $(Haklapp})$ $i_{B}:A\högerpil B$ $(Haklapp})$ $(Haklapp'}})$ $h:B\högerpil B'$

Kategori av pilar

Ett annat specialfall är när och är identiska funktorer i (so ). I det här fallet kallas kategorin komma för kategorin pilar . Dess föremål är morfismer och dess morfismer är kommutativa kvadrater i . [ett] $S$ $T$ ${\mathcal {C}}$ ${\mathcal {A}}={\mathcal {B}}={\mathcal {C}}$ ${\mathcal {C}}^{\rightarrow }$ ${\mathcal {C}}$ ${\mathcal {C}}$

Egenskaper

För alla kategorier av pilar definieras två glömska funktioner från den:

En förbildsfunktion som kartlägger: $S\nedåtpil T\till {\mathcal A}$
- objekt: ; $(\alpha ,\beta ,f)\mapsto \alpha$
- morfismer: ; $(g,h)\mapsto g$
Bildfunktionen, , som kartlägger: $S\nedåtpil T\till {\mathcal B}$
- objekt: ; $(\alpha ,\beta ,f)\mapsto \beta$
- morfismer: . $(g,h)\mapsto h$

Exempel

Den prickade uppsättningskategorin är kommakategorin , där är en funktionär som väljer någon singelton och är identitetsfunktionern i uppsättningskategorin . På liknande sätt kan man bilda kategorin topologiska utrymmen med markerad prick . $\scriptstyle {(\bullet \downarrow {\mathbf {Set)))}$ $\scriptstyle {\bullet }$ $\scriptstyle {{\mathbf {Set}}}$ $\scriptstyle {(\bullet \downarrow {\mathbf {Överst}})}$
Kategorien grafer är kategorin komma , där är en funktion som skickar till . Visa objekt består av två uppsättningar och en funktion; är en indexeringsuppsättning för kanter, är en uppsättning hörn, väljer sedan ett par element för varje , det vill säga väljer en viss kant från uppsättningen av möjliga kanter . Morfismer i denna kategori är funktioner på indexuppsättningen och vertexuppsättningen så att bilderna av de hörn som motsvarar en given kant kommer att motsvara dess bild. $\scriptstyle {({\mathbf {Set}}\downarrow D)}$ $\scriptstyle {D:{\mathbf {Set}}\rightarrow {\mathbf {Set}}}$ $s$ $s\ gånger s$ $(a,b,f)$ $a$ $b$ $f:a\högerpil (b\ gånger b)$ $b$ $a$ $f$ $b\ gånger b$

Parningar

Funktioner och är konjugerade om och endast om kategorierna komma och är isomorfa, och ekvivalenta element projicerar på samma element . Detta gör det möjligt att beskriva angränsande funktorer utan att använda uppsättningar, och detta var huvudorsaken till kommakategorins konstruktion. $F:{\mathcal {C}}\rightarrow {\mathcal {D}}$ $G:{\mathcal {D}}\rightarrow {\mathcal {C}}$ $(F\downarrow id_{\mathcal {D)))$ $(id_{{\mathcal {C}}}\nedåtpil G)$ ${\mathcal {C}}\times {\mathcal {D}}$

Naturliga transformationer

Om bilderna sammanfaller, sammanfaller diagrammet som definierar morfismen till c med diagrammet som definierar den naturliga transformationen . Skillnaden mellan de två definitionerna är att en naturlig transformation är en viss klass av morfismer av formen , medan objekt av kommakategorin alla är morfismer av det slaget. En funktionär i kommakategorin kan välja en viss familj av morfismer. Faktum är att den naturliga omvandlingen , där motsvarar en funktion som mappar ett objekt till och morfismer till . Detta definierar en bijektion mellan naturliga transformationer och funktorer som lämnas inverser av båda glömska funktorerna från . $S,T$ $S\nedåtpil T$ $\alpha =\beta ,\alpha '=\beta ',g=h$ $S\ till T$ $S(\alpha )\till T(\alpha )$ $\eta :S\to T$ $S,T:{\mathcal A}\to {\mathcal C}$ ${\mathcal A}\to (S\nedåtpil T)$ $\alfa$ $(\alpha ,\alpha ,\eta_{\alpha })$ $g$ $(g,g)$ $S\ till T$ ${\mathcal A}\to (S\nedåtpil T)$ $S\nedåtpil T$

Anteckningar

↑ Adámek, Jiří; Horst Herrlich och George E. Strecker. Abstrakta och konkreta kategorier (neopr.) . - John Wiley & Sons , 1990. - ISBN 0-471-60922-6 .

Litteratur

S. McLane Kategorier för en arbetande matematiker, - M . : FIZMATLIT, 2004. - 352 sid. — ISBN 5-9221-0400-4 .