Echidnahedron

Echidnahedron
Symmetrigrupp	Icosahedral ( I h )
Sorts	stjärnbildad ikosaeder
Notation	Du Val: H Wenninger : W 42
Element (i form av en stjärnpolyeder)	G = 20, P = 90 V = 60 ( χ = −10)
Element (formade som konstellation icosahedron)	G = 180, P = 270 V = 92 ( χ = 2)
Egenskaper (som en stjärnpolyeder)	Vertex-transitiv , kanttransitiv
Enneagram Echidnahedron Kärnan i en stjärnpolyeder konvext skrov icosahedron Stympad icosahedron

Echidnahedron ( eng.  echidnahedron ) är den sista stjärnbilden av icosahedron [1] [2] , även kallad den fullständiga eller slutliga formen av icosahedron, eftersom den inkluderar alla celler i stjernediagrammet icosahedron.

Echidnaedern beskrevs första gången av Max Brückner 1900. Namnet echidnahedron gavs av Andrew Hume, beroende på det faktum att dess solida vinklar vid hörnen är små och detta gör att den ser ut som en taggig igelkott eller echidna [3] .

Presentation

Baserat på analysen av vetenskaplig litteratur av Branko Grünbaum i artikeln "Kan varje plan av en polyeder ha många sidor?" ("Can Every Face of a Polyhedron Have Many Sides?") noterar att det finns minst tre olika metoder för att se polyedrar. När det gäller echidnaedern är dessa:

• förening av 180 triangulära ytor;
• skärningspunkt av 20 självkorsande ansikten - enneagram ;
• skärningspunkten mellan 18-gons stjärnpolygoner [4] .

I form av konstellationen icosahedron

Liksom den enkla, synliga ytan på en polyeder består echidnaederns yttre form av 180 triangulära ytor som bildar 270 kanter, som i sin tur möts vid 92 hörn [5] .

Alla hörn av echidnaedern ligger på ytan av tre koncentriska sfärer. Den inre gruppen av 20 hörn bildar hörn av en vanlig dodekaeder ; nästa lager av 12 hörn bildar hörn av en vanlig icosahedron ; och det yttre lagret av 60 hörn bildar hörn av en stympad icosahedron [6] .

Konvexa skrov av varje sfär av hörn

Inre	Medium	Extern	Alla tre
20 toppar	12 toppar	60 toppar	92 toppar
Dodekaeder	icosahedron	Stympad icosahedron	Echidnahedron

I form av en stellerad polyeder

Den slutliga stellationen av ikosaedern kan också ses som en självkorsande stellerad polyeder med 20 ytor, motsvarande de 20 ytorna på icosahedron. Varje ansikte är en oregelbunden stjärnpolygon (eller enneagram ) [7] . Varje tre sidor bildar en vertex, så echidnaedern har 20 × 9 ÷ 3 = 60 hörn (detta yttre skikt av hörn bildar spetsarna på "törnen") och 20 × 9 ÷ 2 = 90 kanter (varje kant av en stellartad polyeder inkluderar 2 av de 180 synliga kanterna polyeder).

Som den slutliga formen av icosahedron

Denna stjärnform av polyedern bildas genom att fästa till ikosaedern alla fack som erhålls genom att förlänga ikosaederns ytor med oändliga plan [8] . Således skapas en ny polyeder, avgränsad av dessa plan som ytor, och skärningspunkterna mellan dessa plan är kanter. Boken Fifty-nine Icosahedrons listar konstellationerna av icosahedron (inklusive echidnahedron) enligt en uppsättning regler som lagts fram av Geoffrey Miller [1] .

Egenskaper

Namn och klassificering

• Du Vals [9] symbol för echidnahedron är H , eftersom den inkluderar alla celler i konstellationsdiagrammet, inklusive den yttersta nivån, "h"-nivån [10] .
• I Magnus Wenningers bok Models of Polyhedra har echidnahedron index W 42 [2] .
• Om echidnaederns ytor var regelbundna annagram skulle den kunna betraktas som en vanlig polyeder med Schläfli-symbolen {9/4,3}. Detta betyder att 3 sidor konvergerar vid varje vertex, där varje yta är en oregelbunden 9/4 stjärnpolygon [7] .

Egenskaper

• Echidnaederns Eulerkarakteristik är 2 [5] . Denna egenskap beräknas enligt formeln där Г, Р och В är antalet ytor, kanter respektive hörn.
• Om vi ​​betraktar echidnaedern som en stellerad polyeder, så är den slutliga formen av icosahedron en ädel polyeder , eftersom den är isoedrisk (ansiktstransitiv) och isogonal (vertextransitiv) .

Formler

• Om vi ​​betraktar echidnaedern som en geometrisk kropp med kantlängderna a , Φ a , Φ 2 a och Φ 2 a √2 (där Φ är det gyllene snittet ), så är echidnaederns yta [6]

och volym [6]

• Radierna för sfärerna på vilka echidnaederns hörn är belägna är i förhållandet [6]

• Echidnaedertröghetstensorn med konstant densitet kan representeras som en 3×3 diagonal matris vars diagonala huvudelement är lika (där M  är den totala massan) [6] .

Historisk översikt

Echidnahedron tillhör stjärnformade polyedrar , som först beskrevs i vetenskaplig litteratur 1619 i avhandlingen Harmonices Mundi av Johannes Kepler . Kepler gav en matematisk motivering för egenskaperna hos två typer av regelbundna stellerade polyedrar : den lilla stellated dodecahedron och den stora stellated dodecahedron [11] . Långt senare, 1809, återupptäckte  Louis Poinsot Kepler-polyedrarna, och upptäckte även ytterligare två stellerade polyedrar: den stora dodekaedern och den stora ikosaedern , som nu kallas Kepler-Poinsot-fastämnena [12] . Och 1812 bevisade Augustin Cauchy att det bara finns 4 typer av regelbundna stellerade polyedrar [7] [11] .

Echidnaedern beskrevs första gången 1900 av Max Brückner i det klassiska verket om polyedrar med titeln "Polygons and Polyhedra", där utöver det beskrevs ytterligare 9 stjärnformade former av icosahedron [13] . Sedan dess började echidnaedern dyka upp i andra matematikers verk, och den hade inte en enda beteckning. 1924 publicerade Albert Willer en lista med 20 stjärnbilder (22 inklusive kopior), inklusive echidnahedron [14] . Den mest systematiska och kompletta studien av stjärnformade polyedrar utfördes av Harold Coxeter , tillsammans med Patrick du Val , Flaser och John Petrie, 1938 i boken Fifty-nine Icosahedrons , där de tillämpade begränsningsreglerna som fastställts av J. Miller. Coxeter bevisade att det bara finns 59 stjärnbilder av icosahedron, varav 32 har fullständig och 27 ofullständig icosahedrisk symmetri. Echidnahedron rankas åttonde i boken [1] . I Magnus Wenningers arbete Models of Polyhedra från 1974 ingår echidnahedron som den 17:e modellen av icosahedron med index W 42 [2] .

Det moderna namnet för den sista bildbilden av icosahedron gavs av Andrew Hume 1995 i sin Netlib-databas som echidnahedron 15] ( echidna eller taggiga myrslok, ett litet däggdjur täckt med trådigt hår och spikar, krullar ihop sig till en boll för att försvara sig).

Netlib-databasen täcker alla vanliga polytoper , arkimediska fasta ämnen , en serie prismor och antiprismor , alla Johnson-polytoper

(konvexa polyedrar där varje ansikte är en vanlig polygon) och några udda polyedrar, inklusive echidnahedron (mitt namn, faktiskt den slutliga formen av icosahedron).

Originaltext  (engelska)[ visaDölj] "Det (Netlib) täcker alla vanliga polyedrar, arkimediska fasta kroppar, ett antal prismor och antiprismor, och alla Johnson-polyedrarna (alla konvexa polyedrar med regelbundna polygonala ytor) och några udda fasta kroppar inklusive echidnaedern (mitt namn; det är faktiskt den sista bildkonst av ikosaedern)". - [3]

Anteckningar

1. ↑ 1 2 3 Coxeter och andra, 1999 .
2. ↑ 1 2 3 Wenninger, 1971 .
3. ↑ 1 2 Databas över polyedrar .
4. ↑ Branko Grünbaum, 2008 , sid. femton.
5. ↑ 12 Polyhedra.org . _
6. ↑ 1 2 3 4 5 Echidnahedron på MathWorld .
7. ↑ 1 2 3 Peter Cromwell, 1997 .
8. ↑ Wenninger modell #42 .
9. ↑ Du Val uppfann en symbolisk notation för att identifiera uppsättningar av kongruenta celler baserat på observationen att de är belägna i "skal" runt den ursprungliga ikosaedern.
10. ↑ Peter Cromwell, 1997 , sid. 259.
11. ↑ 12 MathWorld . _
12. ↑ Louis Poinsot, 1810 .
13. ↑ Max Brückner, 1900 .
14. ↑ Albert Willer, 1924 .
15. ↑ Andrew Hume modell 141 .

Litteratur

• Harold Scott MacDonald Coxeter , P. Du Val , H.T. Flather , JF Petrie. Fifty-Nine Icosahedra = Femtio-nio Icosaedran. - 3:e uppl. — Tarquin, 1999. — S.  30–31 . — 72 sid. - ISBN 978-1-899618-32-3 .
• Magnus J. Wenninger. Polyhedron Models = Polyhedron Models. - Cambridge University Press, 1971. - S. 65. - ISBN 0-521-09859-9 .
• Louis Poinsot. Anteckningar om polygoner och polyedrar = Memoire sur les polygones et polyèdres. - J. de l'École Polytechnique, 1810. - S. 16-48.
• Peter R. Cromwell. Polyhedra = Polyhedra. - Cambridge University Press, 1997. - S. 268. - ISBN 0-521-66405-5 .
• Max Bruckner. Polygoner och polyedrar: teori och historia = Vielecke und Vielflache: Theorie und Geschichte. - Leipzig: BG Teubner Verlag, 1900. - ISBN 978-1-4181-6590-1 .
• A.H. Wheeler. Vissa   former av ikosaedern och en metod för att härleda och beteckna högre polyedrar // Proc . Internat. Matematik. kongressen. - Toronto, 1924. - Vol. 1. - P. 701-708.
• Gerald Jenkins, Magdalen Bear. The Final Stellation of the Icosahedron: En avancerad matematisk modell att klippa ut och limma ihop. - Norfolk, England: Tarquin Publications, 1985. - ISBN 978-0-906212-48-6 .
• Branko Grunbaum. Kan varje yta av en polyeder ha många sidor?  (engelska)  = Kan varje ansikte på en polyeder ha många sidor?. - 2008. - S. 15.

Länkar

• Andrew Hume. Geometry.research › Polyhedra databas  . Google.com. Hämtad: 26 oktober 2014.
• Andrew Hume. Polyhedrondatabas Netlib, modell  141 . Hämtad: 7 november 2014.
• Eric Weisstein. Kepler- Poinsot Solid  . Mathworld.wolfram.com. Hämtad: 26 oktober 2014.
• Eric Weisstein. Echidnahedron  (engelska) . Mathworld.wolfram.com. Hämtad: 26 oktober 2014.
• Eric Weisstein. Icosahedron  Stellationer . Mathworld.wolfram.com. Hämtad: 7 november 2014.
• Ralph Jones. Instruktioner för att konstruera en modell av echidnahedron  ( Microsoft Word(.doc)). Hämtad 26 oktober 2014. Arkiverad från originalet 4 oktober 2011.
• Guy Inchbald. Mot bildande av ikosaedern och facettering av  dodekaedern . Hämtad: 7 november 2014.
• Echidnahedron  (engelska) . Honeylocust Media Systems (2006). Hämtad 26 oktober 2014. Arkiverad från originalet 7 oktober 2008.
• Den slutliga bilden av icosahedron . Wenninger.narod.ru. Hämtad: 3 november 2014. (ryska)

Stjärnformer av icosahedron
Icosahedron (0) Liten triambisk ikosaeder (1) Sammansättning av fem oktaedrar (2) Förening av fem tetraedrar (12) Förening av tio tetraedrar (13) Utgrävd dodekaeder (30) Stora ikosaedern (45) Echidnahedron (58)