The Fifty -Nine Icosahedra är en bok skriven och illustrerad av Harold Coxeter , Patrick du Val , H.T. Flaser och J.F. Petrie. Boken listar några stjärnformer av regelbundna konvexa ( platonska ) ikosaedrar , byggda enligt en uppsättning regler föreslagna av J. C. P. Miller .
Boken publicerades av University of Toronto Press 1938. En andra upplaga gavs ut av Springer-Verlag 1982. Keith och David Crennell skrev om texten fullständigt och ritade om flikarna och diagrammen för den tredje upplagan (Tarquin) 1999 och lade till nytt referensmaterial och fotografier.
Även om J. C. P. Miller inte direkt skrev boken, var han en nära kollega till Coxeter och Petrie. Hans bidrag förevigas i hans uppsättning regler för att avgöra vilka stellationer som kan anses vara "väsentliga och distinkta":
De tre första reglerna motsvarar symmetrikraven för ansiktsplan. Regel 4 utesluter inre håligheter, vilket säkerställer att inga två stjärnformer ser identiska ut. Regel 5 utesluter alla osammanhängande komponenter i enklare former.
Coxeter var den främsta drivkraften bakom arbetet. Han utförde analys baserad på Millers regler, med hjälp av ett antal tekniker såsom kombinatorik och abstrakt grafteori , vars tillämpning i geometri var ny på den tiden.
Han märkte att diagrammet för en stjärna innehåller många segment. Han utvecklade sedan en procedur för att arbeta med kombinationer av angränsande platta regioner för att formellt räkna upp de kombinationer som faller under Millers regler.
Grafen som presenteras här visar anslutningsmöjligheterna för de olika ansikten som representeras i stjärndiagrammet (se nedan). Grekiska bokstäver definierar en uppsättning möjliga alternativ:
λ kan vara 3 eller 4 μ kan vara 7 eller 8 ν kan vara 11 eller 12Du Val skapade symbolisk notation för uppsättningar av kongruettceller baserat på observationen att de ligger på ett "skal" runt den ursprungliga ikosaedern. Baserat på detta testade han alla möjliga kombinationer mot Millers regler, vilket bekräftade resultaten av Coxeters mer analytiska tillvägagångssätt.
Flasers bidrag var inte direkt - han gjorde kartongmodeller av alla 59 polyedrar. Innan han träffade Coxeter hade han redan gjort många stjärnformer, inklusive några polyeder som inte föll under Millers regler. Han fortsatte att arbeta med att skapa en komplett serie, som lagras i det matematiska biblioteket vid University of Cambridge (England). Biblioteket har också flera icke-Millerian modeller, men det är inte känt om de senare gjordes av studenter av Flaser eller Miller [1] .
John Flinders Petrie, en långvarig vän till Coxeter, hade en anmärkningsvärd förmåga att representera figurer i fyrdimensionell rymd. Han och Coxeter arbetade tillsammans på många matematiska problem. Hans direkta bidrag till boken ligger i de många perfekta tredimensionella teckningarna som ger bokens charm.
För den tredje upplagan reviderade Keith och David Crennell texten fullständigt och ritade om illustrationerna och bilagorna. De lade också till en referenssektion som innehåller tabeller, diagram och fotografier av några av Cambridge-modellerna (trodde på den tiden alla var av Flazer). Indexet inkluderade alla 59 polyedrar, numrerade i följd i den ordning som de förekom i boken. Flera fel smög sig in under redigeringsprocessen. PDF-fil med korrigerade sidor tillgängliga online.
Före Coxeter beskrev bara Brückner och Wheeler några betydande uppsättningar av stellationer, även om några, såsom den stora icosahedron, är kända tidigare. Efter publiceringen av en bok om 59 ikosaedrar publicerade Wenninger instruktioner för att bygga några av modellerna i serien. Numreringsschemat som antogs i hans bok blev allmänt använt, även om han bara gav några få stjärnformer.
Numrering sker av Krennels om inte annat anges.
Krennels
VRML
celler
Fasett
Wenninger
Wheeler
Brueckner
Anteckningar
Crennell | VRML | Celler | Fasett | Wenninger | Wheeler | Brueckner | Anteckningar | kant | 3D |
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
ett | [ett] | A | 0 | Icosahedron |
4 ett | Platonsk solid ikosaeder | |||
2 | [2] | B | ett | 26 Första stjärnformen |
2 | Flik. VIII, fig. 2 | Den första stjärnbilden av icosahedron, den lilla triambiska icosahedron , eller Triakisicosahedron |
||
3 | [3] | C | 2 | 23 Sammansättning av fem oktaedrar |
3 | Flik. IX, fig. 6 | Korrekt anslutning av fem oktaedrar | ||
fyra | [fyra] | D | 3 4 | fyra | Flik. IX, fig. 17 | ||||
5 | [5] | E | 5 6 7 | ||||||
6 | [6] | F | 8 9 10 | 27
Andra stjärnformen |
19 | ||||
7 | [7] | G | 11 12 | 41 Stor ikosaeder |
elva | Flik. XI, fig. 24 | Stor ikosaeder | ||
åtta | [åtta] | H | 13 | 42 Slutlig stjärnform |
12 | Flik. XI, fig. fjorton | Echidnahedron | ||
9 | [9] | e 1 | 3'5 | 37 Tolfte stjärnformen |
|||||
tio | [tio] | f1 _ | 5' 6' 9 10 | ||||||
elva | [elva] | g 1 | 10'12 | 29 Fjärde stjärnformen |
21 | ||||
12 | [12] | e 1 f 1 | 3' 6' 9 10 | ||||||
13 | [13] | e 1 f 1 g 1 | 3' 6' 9 12 | tjugo | |||||
fjorton | [fjorton] | f 1 g 1 | 5' 6' 9 12 | ||||||
femton | [femton] | e 2 | 4' 6 7 | ||||||
16 | [16] | f2 _ | 7'8 | 22 | |||||
17 | [17] | g2 _ | 8' 9' 11 | ||||||
arton | [arton] | e 2 f 2 | 4' 6 8 | ||||||
19 | [19] | e 2 f 2 g 2 | 4'6 9'11 | ||||||
tjugo | [tjugo] | f 2 g 2 | 7' 9' 11 | 30 Femte stjärnformen |
|||||
21 | [21] | De 1 | 4 5 | 32 Sjunde stjärnformen |
tio | ||||
22 | [22] | Ef 1 | 7 9 10 | 25 Förening av tio tetraedrar |
åtta | Flik. IX, fig. 3 | Korrekt anslutning av tio tetraedrar | ||
23 | [23] | Fg 1 | 8 9 12 | 31 Sjätte stjärnformen |
17 | Flik. X, fig. 3 | |||
24 | [24] | De 1 f 1 | 4 6' 9 10 | ||||||
25 | [25] | De 1 f 1 g 1 | 4 6' 9 12 | ||||||
26 | [26] | Ef 1 g 1 | 7 9 12 | 28 Tredje stjärnformen |
9 | Flik. VIII, fig. 26 | Skårad dodekaeder | ||
27 | [27] | De 2 | 3 6 7 | 5 | |||||
28 | [28] | Ef 2 | 5 6 8 | arton | Flik. IX, fig. tjugo | ||||
29 | [29] | Fg 2 | 10 11 | 33 Åttonde stjärnform |
fjorton | ||||
trettio | [trettio] | De 2 f 2 | 3 6 8 | 34 Nionde stjärnform |
13 | Medium triambikycosahedron eller Great triambikycosahedron |
|||
31 | [31] | De 2 f 2 g 2 | 3 6 9' 11 | ||||||
32 | [32] | Ef 2 g 2 | 5 6 9' 11 | ||||||
33 | [33] | f1 _ | 5' 6' 9 10 | 35 Tionde stjärnform |
|||||
34 | [34] | e 1 f 1 | 3' 5 6' 9 10 | 36 Elfte stjärnform |
|||||
35 | [35] | De 1 f 1 | 4 5 6' 9 10 | ||||||
36 | [36] | f 1 g 1 | 5' 6' 9 10' 12 | ||||||
37 | [37] | e 1 f 1 g 1 | 3'5 6'9 10'12 _ _ _ | 39 Fjortonde stjärnform |
|||||
38 | [38] | De 1 f 1 g 1 | 4 5 6' 9' 10' 12 | ||||||
39 | [39] | f 1 g 2 | 5' 6' 8' 9' 10 11 | ||||||
40 | [40] | e 1 f 1 g 2 | 3' 5 6' 8' 9' 10 11 | ||||||
41 | [41] | De 1 f 1 g 2 | 4 5 6' 8' 9' 10 11 | ||||||
42 | [42] | f 1 f 2 g 2 | 5' 6' 7' 9' 10 11 | ||||||
43 | [43] | e 1 f 1 f 2 g 2 | 3' 5 6' 7' 9' 10 11 | ||||||
44 | [44] | De 1 f 1 f 2 g 2 | 4 5 6' 7' 9' 10 11 | ||||||
45 | [45] | e 2 f 1 | 4' 5' 6 7 9 10 | 40 Femtonde stjärnformen |
|||||
46 | [46] | De 2 f 1 | 3 5' 6 7 9 10 | ||||||
47 | [47] | E f 1 | 5 6 7 9 10 | 24 Förening av fem tetraedrar |
7 (6: vänster) |
Flik. IX, fig. elva | Korrekt anslutning av fem tetraedrar (höger) | ||
48 | [48] | e 2 f 1 g 1 | 4' 5' 6 7 9 10' 12 | ||||||
49 | [49] | De 2 f 1 g 1 | 3 5' 6 7 9 10' 12 | ||||||
femtio | [femtio] | E f 1 g 1 | 5 6 7 9 10' 12 | ||||||
51 | [51] | e 2 f 1 f 2 | 4' 5' 6 8 9 10 | 38 Trettonde stjärnformen |
|||||
52 | [52] | De 2 f 1 f 2 | 3 5' 6 8 9 10 | ||||||
53 | [53] | E f 1 f 2 | 5 6 8 9 10 | 15 (16: vänster) |
|||||
54 | [54] | e 2 f 1 f 2 g 1 | 4' 5' 6 8 9 10' 12 | ||||||
55 | [55] | De 2 f 1 f 2 g 1 | 3 5' 6 8 9 10' 12 | ||||||
56 | [56] | E f 1 f 2 g 1 | 5 6 8 9 10' 12 | ||||||
57 | [57] | e 2 f 1 f 2 g 2 | 4' 5' 6 9' 10 11 | ||||||
58 | [58] | De 2 f 1 f 2 g 2 | 3 5' 6 9' 10 11 | ||||||
59 | [59] | E f 1 f 2 g 2 | 5 6 9' 10 11 |