Femtio nio ikosaedrar

The Fifty -Nine Icosahedra är en  bok skriven och illustrerad av Harold Coxeter , Patrick du Val , H.T. Flaser och J.F. Petrie. Boken listar några stjärnformer av regelbundna konvexa ( platonska ) ikosaedrar , byggda enligt en uppsättning regler föreslagna av J. C. P. Miller .

Boken publicerades av University of Toronto Press 1938. En andra upplaga gavs ut av Springer-Verlag 1982. Keith och David Crennell skrev om texten fullständigt och ritade om flikarna och diagrammen för den tredje upplagan (Tarquin) 1999 och lade till nytt referensmaterial och fotografier.

Författarbidrag

Millers regler

Även om J. C. P. Miller inte direkt skrev boken, var han en nära kollega till Coxeter och Petrie. Hans bidrag förevigas i hans uppsättning regler för att avgöra vilka stellationer som kan anses vara "väsentliga och distinkta":

  1. Ansiktena måste ligga på tjugo plan, det vill säga på gränsplanen för en vanlig ikosaeder.
  2. Alla delar som utgör ansiktena måste vara desamma i alla plan, även om de är helt åtskilda.
  3. Delar som tillhör vilket (ett) plan som helst måste ha trigonal symmetri med eller utan reflektion. Detta ger icosaedrisk symmetri för hela kroppen.
  4. Delar som tillhör vilket plan som helst måste alla vara "tillgängliga" i den resulterande kroppen (dvs. de måste vara "yttre". I vissa fall måste vi bygga enorma modeller för att se alla delar. För modeller med normal storlek, vissa delar, även om de är "extern", de kan endast upptäckas av krypande insekter).
  5. Fall är undantagna från övervägande när delarna kan delas upp i två uppsättningar, som individuellt ger en kropp med större symmetri än själva figuren. Men vi tillåter sammanfogningen av ett enantiomorft par som inte har några gemensamma delar (det händer faktiskt bara i ett fall).

De tre första reglerna motsvarar symmetrikraven för ansiktsplan. Regel 4 utesluter inre håligheter, vilket säkerställer att inga två stjärnformer ser identiska ut. Regel 5 utesluter alla osammanhängande komponenter i enklare former.

Coxeter

Coxeter var den främsta drivkraften bakom arbetet. Han utförde analys baserad på Millers regler, med hjälp av ett antal tekniker såsom kombinatorik och abstrakt grafteori , vars tillämpning i geometri var ny på den tiden.

Han märkte att diagrammet för en stjärna innehåller många segment. Han utvecklade sedan en procedur för att arbeta med kombinationer av angränsande platta regioner för att formellt räkna upp de kombinationer som faller under Millers regler.

Grafen som presenteras här visar anslutningsmöjligheterna för de olika ansikten som representeras i stjärndiagrammet (se nedan). Grekiska bokstäver definierar en uppsättning möjliga alternativ:

λ kan vara 3 eller 4 μ kan vara 7 eller 8 ν kan vara 11 eller 12

Du Val

Du Val skapade symbolisk notation för uppsättningar av kongruettceller baserat på observationen att de ligger på ett "skal" runt den ursprungliga ikosaedern. Baserat på detta testade han alla möjliga kombinationer mot Millers regler, vilket bekräftade resultaten av Coxeters mer analytiska tillvägagångssätt.

Flazer

Flasers bidrag var inte direkt - han gjorde kartongmodeller av alla 59 polyedrar. Innan han träffade Coxeter hade han redan gjort många stjärnformer, inklusive några polyeder som inte föll under Millers regler. Han fortsatte att arbeta med att skapa en komplett serie, som lagras i det matematiska biblioteket vid University of Cambridge (England). Biblioteket har också flera icke-Millerian modeller, men det är inte känt om de senare gjordes av studenter av Flaser eller Miller [1] .

Petri

John Flinders Petrie, en långvarig vän till Coxeter, hade en anmärkningsvärd förmåga att representera figurer i fyrdimensionell rymd. Han och Coxeter arbetade tillsammans på många matematiska problem. Hans direkta bidrag till boken ligger i de många perfekta tredimensionella teckningarna som ger bokens charm.

Krennels

För den tredje upplagan reviderade Keith och David Crennell texten fullständigt och ritade om illustrationerna och bilagorna. De lade också till en referenssektion som innehåller tabeller, diagram och fotografier av några av Cambridge-modellerna (trodde på den tiden alla var av Flazer). Indexet inkluderade alla 59 polyedrar, numrerade i följd i den ordning som de förekom i boken. Flera fel smög sig in under redigeringsprocessen. PDF-fil med korrigerade sidor tillgängliga online.

Lista över femtio-nio icosahedrons

Före Coxeter beskrev bara Brückner och Wheeler några betydande uppsättningar av stellationer, även om några, såsom den stora icosahedron, är kända tidigare. Efter publiceringen av en bok om 59 ikosaedrar publicerade Wenninger instruktioner för att bygga några av modellerna i serien. Numreringsschemat som antogs i hans bok blev allmänt använt, även om han bara gav några få stjärnformer.

Anteckningar

Numrering sker av Krennels om inte annat anges.

Krennels

VRML

celler

Fasett

Wenninger

Wheeler

Brueckner

Anteckningar

Tabell över femtio-nio ikosaedrar

Crennell VRML Celler Fasett Wenninger Wheeler Brueckner Anteckningar kant 3D
ett [ett] A 0 04
Icosahedron		 ett Platonsk solid ikosaeder
2 [2] B ett 26
Första stjärnformen 		2 Flik. VIII, fig. 2 Den första stjärnbilden av icosahedron,
den lilla triambiska icosahedron ,
eller Triakisicosahedron
3 [3] C 2 23
Sammansättning av fem oktaedrar		 3 Flik. IX, fig. 6 Korrekt anslutning av fem oktaedrar
fyra [fyra] D 3 4 99 fyra Flik. IX, fig. 17
5 [5] E 5 6 7 99 99
6 [6] F 8 9 10 27

Andra stjärnformen

19
7 [7] G 11 12 41
Stor ikosaeder		 elva Flik. XI, fig. 24 Stor ikosaeder
åtta [åtta] H 13 42
Slutlig stjärnform		 12 Flik. XI, fig. fjorton Echidnahedron
9 [9] e 1 3'5 37
Tolfte stjärnformen		 99
tio [tio] f1 _ 5' 6' 9 10 99 99
elva [elva] g 1 10'12 29
Fjärde stjärnformen		 21
12 [12] e 1 f 1 3' 6' 9 10 99 99
13 [13] e 1 f 1 g 1 3' 6' 9 12 99 tjugo
fjorton [fjorton] f 1 g 1 5' 6' 9 12 99 99
femton [femton] e 2 4' 6 7 99 99
16 [16] f2 _ 7'8 99 22
17 [17] g2 _ 8' 9' 11 99 99
arton [arton] e 2 f 2 4' 6 8 99 99
19 [19] e 2 f 2 g 2 4'6 9'11 99 99
tjugo [tjugo] f 2 g 2 7' 9' 11 30
Femte stjärnformen		 99
21 [21] De 1 4 5 32
Sjunde stjärnformen		 tio
22 [22] Ef 1 7 9 10 25
Förening av tio tetraedrar		 åtta Flik. IX, fig. 3 Korrekt anslutning av tio tetraedrar
23 [23] Fg 1 8 9 12 31
Sjätte stjärnformen		 17 Flik. X, fig. 3
24 [24] De 1 f 1 4 6' 9 10 99 99
25 [25] De 1 f 1 g 1 4 6' 9 12 99 99
26 [26] Ef 1 g 1 7 9 12 28
Tredje stjärnformen		 9 Flik. VIII, fig. 26 Skårad dodekaeder
27 [27] De 2 3 6 7 99 5
28 [28] Ef 2 5 6 8 99 arton Flik. IX, fig. tjugo
29 [29] Fg 2 10 11 33
Åttonde stjärnform		 fjorton
trettio [trettio] De 2 f 2 3 6 8 34
Nionde stjärnform		 13 Medium triambikycosahedron eller
Great triambikycosahedron
31 [31] De 2 f 2 g 2 3 6 9' 11 99 99
32 [32] Ef 2 g 2 5 6 9' 11 99 99
33 [33] f1 _ 5' 6' 9 10 35
Tionde stjärnform		 99
34 [34] e 1 f 1 3' 5 6' 9 10 36
Elfte stjärnform		 99
35 [35] De 1 f 1 4 5 6' 9 10 99 99
36 [36] f 1 g 1 5' 6' 9 10' 12 99 99
37 [37] e 1 f 1 g 1 3'5 6'9 10'12 _ _ _ 39
Fjortonde stjärnform		 99
38 [38] De 1 f 1 g 1 4 5 6' 9' 10' 12 99 99
39 [39] f 1 g 2 5' 6' 8' 9' 10 11 99 99
40 [40] e 1 f 1 g 2 3' 5 6' 8' 9' 10 11 99 99
41 [41] De 1 f 1 g 2 4 5 6' 8' 9' 10 11 99 99
42 [42] f 1 f 2 g 2 5' 6' 7' 9' 10 11 99 99
43 [43] e 1 f 1 f 2 g 2 3' 5 6' 7' 9' 10 11 99 99
44 [44] De 1 f 1 f 2 g 2 4 5 6' 7' 9' 10 11 99 99
45 [45] e 2 f 1 4' 5' 6 7 9 10 40
Femtonde stjärnformen		 99
46 [46] De 2 f 1 3 5' 6 7 9 10 99 99
47 [47] E f 1 5 6 7 9 10 24
Förening av fem tetraedrar 		7
(6: vänster) 		Flik. IX, fig. elva Korrekt anslutning av fem tetraedrar (höger)
48 [48] e 2 f 1 g 1 4' 5' 6 7 9 10' 12 99 99
49 [49] De 2 f 1 g 1 3 5' 6 7 9 10' 12 99 99
femtio [femtio] E f 1 g 1 5 6 7 9 10' 12 99 99
51 [51] e 2 f 1 f 2 4' 5' 6 8 9 10 38
Trettonde stjärnformen		 99
52 [52] De 2 f 1 f 2 3 5' 6 8 9 10 99 99
53 [53] E f 1 f 2 5 6 8 9 10 99 15
(16: vänster)
54 [54] e 2 f 1 f 2 g 1 4' 5' 6 8 9 10' 12 99 99
55 [55] De 2 f 1 f 2 g 1 3 5' 6 8 9 10' 12 99 99
56 [56] E f 1 f 2 g 1 5 6 8 9 10' 12 99 99
57 [57] e 2 f 1 f 2 g 2 4' 5' 6 9' 10 11 99 99
58 [58] De 2 f 1 f 2 g 2 3 5' 6 9' 10 11 99 99
59 [59] E f 1 f 2 g 2 5 6 9' 10 11 99 99

Se även

Anteckningar

  1. ↑ Sanna förlorade stellationer . Hämtad 14 november 2015. Arkiverad från originalet 13 mars 2016.

Litteratur

Länkar