Tröghetstensor

Tröghetstensorn - i mekaniken hos en absolut stel kropp - är en tensorkvantitet som relaterar kroppens rörelsemängd och den kinetiska energin för dess rotation med vinkelhastigheten :

\ {\vec {L}}=J{\vec {\omega }}

var är tröghetstensorn, är vinkelhastigheten, är rörelsemängden $\J$ $\ {\vec {\omega ))$ ${\vec {L}}$

\ E_{kin\ rot}={1 \over 2}\ {\vec {\omega }}^{\,T}\cdot J\cdot {\vec {\omega }}

\ E_{{kin}}=E_{{kin\ rot}}+{p^{2} \over 2m}

i komponenter ser det ut så här:

\ L_{i}=\summa _{j}J_{{ij}}\omega _{j}

\ E_{{kin\ rot}}={1 \över 2}\summa _{{ij}}\omega _{i}J_{{ij}}\omega _{j}

Med hjälp av definitionen av rörelsemängden för ett system av N materialpunkter (omnumrerat i formlerna nedan med index k ):

\ {\vec {L}}=\summa _{k=1}^{N}[\ {\vec {r}}_{k}\times (\ m_{k}\ {\vec { v}}_{k}\ )\ ]

och det kinematiska uttrycket för hastigheten i termer av vinkelhastigheten:

\ {\vec {v}}=[\ {\vec {\omega }}\ gånger {\vec {r}}\ ]

och att jämföra med formeln som uttrycker vinkelmomentet i termer av tröghetstensorn och vinkelhastigheten (den första i denna artikel), är det inte svårt att få ett explicit uttryck för tröghetstensorn:

\ J_{ij}=\summa _{k}\ m_{k}\ (\delta _{ij}r_{k}^{2}-r_{i_{k}}r_{j_{k} })\

eller i kontinuerlig form:

\ J_{ij}=\int (\delta _{ij}r^{2}-r_{i}r_{j})\ dm=\int (\delta _{ij}r^{2} -r_{i}r_{j})\ \rho dV

där r är avstånden från punkterna till mitten, i förhållande till vilka tröghetstensorn beräknas, och r i är koordinatkomponenterna för motsvarande segment, i och j är koordinattalen (från 1 till 3), medan indexet k (från 1 till N) i den diskreta formeln räknar upp punkter i systemet eller små delar som utgör det.

Redan från dessa formler framgår det tydligt att tröghetstensorn för varje kropp beror på den punkt i förhållande till vilken den beräknas. Vanligtvis spelas den valda rollen av tröghetstensorn i förhållande till kroppens masscentrum (då är p i den tredje formeln bara kroppens rörelsemängd ). Det kan också vara lämpligt att använda tröghetsmomentet beräknat i förhållande till en fixerad (fixerad) punkt på kroppen eller en punkt belägen på en fixerad rotationsaxel. Omräkning av tröghetstensorn för det nya centret, att känna till det i förhållande till det gamla, gör det enkelt att implementera Steinersatsen (det låter dig också göra detta i form av omräkning, till exempel den kinetiska energiformeln, vilket gör det möjligt att att endast arbeta med tröghetstensorn i förhållande till massans centrum).

Från samma formler kan man se att detta är en symmetrisk tensor, det vill säga J ij =J ji .

I kontinuerlig form kan formeln härledas enligt följande:

{\vec {L}}=\int \limits _{(m)}[\ {\vec {r}}\times (\ {\vec {v}}dm\ )\ ]=\rho \ int \limits _{(V)}[\ {\vec {r}}\times [\ {\vec {\omega }}\times {\vec {r}}\ ]\ ]dV

Varifrån kommer vi , enligt Lagrange-formeln

{\vec {L}}=\rho \int \limits _{(V)}[\ {\vec {\omega }}\cdot r^{2}-{\vec {r}}({ \vec {\omega )),\ {\vec {r)))\ ]dV

Vi skriver nedbrytningen av vektorer och på ortonormal basis: $\ {\vec {v))$ $\ {\vec {r))$

\ {\vec {r}}=x{\vec {i}}+y{\vec {j}}+z{\vec {k}}

\ {\vec {\omega }}=\omega _{x}{\vec {i}}+\omega _{y}{\vec {j}}+\omega _{z}{\vec {k}}

Genom egenskaperna hos den skalära produkten ,

{\displaystyle \ ({\vec {\omega )),\ {\vec {r)))=x\omega _{x}+y\omega _{y}+z\omega _{z))

Med hänsyn till det faktum att vi kan skriva projektionerna av vinkelmomentvektorn på axeln: ${\displaystyle \ r^{2}=x^{2}+y^{2}+z^{2))$

L_{x}=\rho \int \limits _{(V)}\left(\omega _{x}(x^{2}+y^{2}+z^{2})-x (x\omega _{x}+y\omega _{y}+z\omega _{z})\right)dV

Eller, med liknande termer

L_{x}=\rho \int \limits _{(V)}\left(\omega _{x}(y^{2}+z^{2})-\omega _{y}xy -\omega _{z}xz\right)dV

Liknande

L_{y}=\rho \int \limits _{(V)}\left(\omega _{y}(x^{2}+z^{2})-\omega _{x}yx -\omega _{z}yz\right)dV

L_{z}=\rho \int \limits _{(V)}\left(\omega _{z}(x^{2}+y^{2})-\omega _{x}zx -\omega _{y}zy\right)dV

Låt oss presentera notationen:

J_{xx}=\rho \int \limits _{(V)}(y^{2}+z^{2})dV

J_{yy}=\rho \int \limits _{(V)}(x^{2}+z^{2})dV

J_{zz}=\rho \int \limits _{(V)}(x^{2}+y^{2})dV

J_{xy}=J_{yx}=-\rho \int \limits _{(V)}xydV

J_{xz}=J_{zx}=-\rho \int \limits _{(V)}xzdV

J_{yz}=J_{zy}=-\rho \int \limits _{(V)}yzdV

Från dem kan vi komponera tröghetstensorn i matrisform:

J={\begin{vmatrix}J_{xx}&J_{xy}&J_{xz}\\J_{yx}&J_{yy}&J_{yz}\\J_{zx}&J_{zy}&J_{zz }\\\end{vmatrix}}

Det är lätt att kontrollera att, enligt vår notation, tensorkopplingen är sann:

\left\{{\begin{aligned}L_{x}=J_{xx}\omega _{x}+J_{xy}\omega _{y}+J_{xz}\omega _{z} \\L_{y}=J_{yx}\omega _{x}+J_{yy}\omega _{y}+J_{yz}\omega _{z}\\L_{z}=J_{zx} \omega _{x}+J_{zy}\omega _{y}+J_{zz}\omega _{z}\\\end{aligned}}\right.

Liksom vilken symmetrisk tensor som helst kan tröghetstensoren diagonaliseras, det vill säga man kan hitta tre ortogonala koordinataxlar ( egenaxlar , vars orter är egenvektorer och bildar tröghetstensorns egen bas ) - styvt förbundna, naturligtvis, med en stel kropp - i där matrisen för tröghetstensorn är diagonal , och dess egenvärden (egenvärdena för tröghetstensorn) bestämmer kroppens huvudsakliga tröghetsmoment [1] .

Det är lätt att se att de huvudsakliga tröghetsmomenten sammanfaller med de axiella tröghetsmomenten kring huvudaxlarna:

\ J_{{xx}}=\int (y^{2}+z^{2})dm=\int r_{{yz}}^{2}dm

\ J_{{yy}}=\int (x^{2}+z^{2})dm=\int r_{{xz}}^{2}dm

\ J_{{zz}}=\int (x^{2}+y^{2})dm=\int r_{{xy}}^{2}dm

(Obs: x, y och z i dessa formler betyder exakt huvudaxlarna, om vi vill sammanfalla med huvudpunkterna).

Alla formlerna i den här artikeln antog användningen av en ortonormal bas , så endast lägre tensorindex används, eftersom det i det här fallet inte finns någon skillnad mellan övre och nedre index.
Tröghetstensorn kan betraktas som en generalisering av begreppet tröghetsmomentet kring axeln ; kopplingen av dessa storheter - se artikeln tröghetsmoment (där indikeras tröghetstensorns egenvärden som ). När man läser artikeln genom referens bör man tänka på en viss skillnad i notation, så i den artikeln anges inte motsvarande komponenter i tröghetstensorn, utan de centrifugala tröghetsmomenten, som sammanfaller i absolut värde med motsvarande komponenter av tensorn, men har motsatt tecken. ${\displaystyle J_{X},J_{Y},J_{Z))$ ${\displaystyle J_{xy},J_{yz},J_{zx))$

Andra användningar av termen

Ibland används termen tröghetstensor på matematiskt likartade strukturer som inte har en direkt mekanisk betydelse, till exempel om ρ i formlerna inte är massdensiteten, utan densiteten för andra storheter, till exempel densiteten för den statistiska distribution ; och utrymmet i vilket beräkningen sker kan i princip vara vilket som helst, även om fallet med samma natur för alla axlar (det vill säga samma måttenheter längs dem) är mest meningsfullt. Denna användning av termen är en direkt geometrisk analogi, liksom användningen av termer som masscentrum eller tyngdpunkt i liknande sammanhang.

När det gäller att tillämpa termen tröghetstensor på distributionstätheter, särskilt om den betraktas i förhållande till "tyngdpunkten", talar vi i huvudsak om kovariansmatrisen , och problemet med att hitta dess egenvektorer och egenvärden kan också diskuteras i termer av "huvudaxlar" och "huvudmoment", vilket inte bara motsvarar analogin med tröghetsmomentet, utan också till den ganska strikta terminologin för de andra momenten i en flerdimensionell fördelning (multivariatad slumpvariabel) i statistiken (både essensen och terminologin här kan vara väldigt nära). Samtidigt, i det tvådimensionella fallet , sammanfaller tröghetstensorn och kovariansmatrisen i de korrekta axlarna helt - upp till en permutation av axlarna , och i fall av högre dimensioner talar vi inte om att sammanfalla, utan endast om närbesläktade form- och betydelsematriser, diagonaliserande i detta fall i en och samma grund (har samma egna axlar).

Se även

Tröghetsmoment
Steiners teorem
Gyrationstensorn

Anteckningar

↑ Shakhoval S. N., Melnikov G. I.// PARAMETRISK IDENTIFIERING AV TRÖGHETSTENSORER PÅ KROPP PÅ SFÄRISKA RÖRELSER MED LÅNGSAM ROTATION Arkivexemplar daterad 19 september 2015 på Wayback Machine .- Artikel. - Vetenskaplig och teknisk bulletin från ITMO. - Januari-februari 2012. - Nummer 1 (77). - UDC 681,5 + 531