Sannolikhetstäthet

Den aktuella versionen av sidan har ännu inte granskats av erfarna bidragsgivare och kan skilja sig väsentligt från versionen som granskades den 24 augusti 2021; kontroller kräver 7 redigeringar .

Sannolikhetstäthet är ett av sätten att specificera fördelningen av en slumpvariabel . I många praktiska tillämpningar är begreppen "sannolikhetstäthet" och "densitet (fördelning) av en slumpvariabel " eller " sannolikhetsfördelningsfunktion " faktiskt synonyma och de betyder en verklig funktion som kännetecknar den jämförande sannolikheten för realisering av vissa värden av en slumpvariabel (variabler).

Tillämpad beskrivning av konceptet

Fördelningstätheten för en endimensionell kontinuerlig slumpvariabel är en numerisk funktion , vars förhållande mellan värdena vid punkterna och anger förhållandet mellan sannolikheterna för kvantiteten som faller i smala intervall med lika bredd och nära dessa punkter. $\xi$ $f(x)$ $f(x_{1})/f(x_{2})$ $x_{1}$ $x_{2}$ $\xi$ $[x_{1},x_{1}+\Delta x]$ $[x_{2},x_{2}+\Delta x]$

Fördelningstätheten är icke-negativ för någon och är normaliserad, dvs. $x$

\int _{-\infty }^{+\infty }f(x)\,{\mbox{d}}x=1

När tenderar till tenderar funktionen till noll. Dimensionen på distributionstätheten är alltid invers mot dimensionen av en slumpvariabel - om den beräknas i meter, så blir dimensionen m -1 . $x$ $\,\pm \infty$ $f(x)$ $\xi$ $f$

Om uttrycket för är känt i en viss situation kan det användas för att beräkna sannolikheten för att värdet faller in i intervallet som $f(x)$ $\xi$ $[a,b]$

P(\xi \in [a,b])=\int _{a}^{b}f(x)\,{\mbox{d}}x

Genom att känna till sannolikhetstätheten kan man också bestämma det mest sannolika värdet ( mod ) för en slumpvariabel som ett maximum . Med hjälp av sannolikhetstätheten hittas också medelvärdet för en slumpvariabel: $f(x)$

E\xi =\int _{-\infty }^{+\infty }xf(x)\,{\mbox{d}}x

och medelvärdet av en mätbar funktion av en slumpvariabel: $g(\xi)$

\langle g(\xi )\rangle =\int _{-\infty }^{+\infty }g(x)f(x)\,{\mbox{d}}x

För att övergå till distributionstätheten för en annan slumpvariabel måste vi ta ${f}_{\chi }(y)$ $\chi =z(\xi)$

{f}_{\chi }(y)=f(z^{-1}(y))\cdot \left|{\frac {{\mbox{d}}z^{-1}( y)}{{\mbox{d}}y}}\right|

där är den inversa funktionen med avseende på (det antas att z är en en-till-en-mappning av ). $z^{-1}(y)$ $y=z(x)$

Värdet på distributionstätheten är inte sannolikheten att ta värdet som en slumpvariabel . Så sannolikheten att ta ett värde med en kontinuerlig slumpmässig variabel är lika med noll. Med en kontinuerlig fördelning av en slumpvariabel kan frågan ställas om sannolikheten att den faller inom ett visst intervall, och inte om sannolikheten att realisera dess specifika värde. $f(x_{1})$ $x_{1}$ $\xi$ $x_{1}$ $\xi$

Väsentlig

\int _{-\infty }^{x}f(t)\,{\mbox{d}}t=F(x)

kallas fördelningsfunktionen (respektive sannolikhetsfördelningstätheten är derivatan av fördelningsfunktionen). Funktionen är icke-minskande och ändras från 0 för till 1 för . $F$ $x\to -\infty$ $x\till +\infty$

Den enklaste fördelningen är den enhetliga fördelningen på intervallet . För honom är sannolikhetstätheten: $[a,b]$

f(x)=\left\{{\begin{matrix}{1 \over ba},&x\in [a,b]\\0,&x\not \in [a,b]\end{ matris}}\right..

En välkänd fördelning är den " normala " fördelningen, som också är gaussisk, vars densitet skrivs som

f(x)={\frac {1}{{\sqrt {2\pi }}\sigma }}\exp \left[-{\frac {(x-\mu )^{2}}{ 2\sigma ^{2}}}\right]

var och är parametrarna: matematisk förväntan och standardavvikelse . Andra exempel på distributionstätheter är ensidig Laplacian ( ): $\mu$ $\sigma$ $\lambda>0$

f(x)=A\exp \left[-\lambda \,x\right]\,\,(x\geq 0)

och ,

f(x)=0\,\,(x<0)

och Maxwellian ( ): $\alpha >0$

f(x)=Ax^{2}\exp \left[-\alpha x^{2}\right]\,\,(x\geq 0)

och .

f(x)=0\,\,(x<0)

I de två sista exemplen väljs faktorn beroende på parametern eller så för att säkerställa normaliseringen av integralen av sannolikhetstätheten. När det gäller Laplace-distributionen visar det sig att . $A$ $\lambda$ $\alfa$ $A=\lambda$

Både dessa och andra distributioner används i stor utsträckning inom fysiken. Till exempel, i fallet med Maxwell-fördelningen , spelas rollen av en slumpmässig variabel vanligtvis av det absoluta värdet av en molekyls hastighet i en idealgas . Samtidigt används ofta samma symbol för argumentet för funktionen som för den slumpmässiga variabeln som beaktas i det fysiska problemet (som om det vore överallt ovanför ). Så, i uttrycket för den Maxwellska distributionstätheten, skriver de inte en formell variabel utan en hastighetssymbol . I de enklaste situationerna leder sådana friheter med notskrift inte till missförstånd. $f$ $\xi$ $x$ $x$ $v$

Minskar som argumentet tenderar att eller en del av sannolikhetstäthetsgrafen i områden där , kallas svansen . Av de nämnda fördelningarna har normalen och laplacianen två svansar (till vänster och till höger), och Maxwellianen i skriftlig form har en (till höger). $+\infty$ $-\infty$ $f(x)$ ${\displaystyle f\ll f_{max))$

Kärnan i begreppet "sannolikhetstäthet" angavs ovan. En sådan presentation är dock inte rigorös - tätheten är ofta en funktion av flera storheter, resonemanget som implicit antas garanterar inte alltid funktioners kontinuitet och differentierbarhet, och så vidare. $f$

Definition av sannolikhetstäthet i måttteori

Sannolikhetstäthet kan ses som ett sätt att specificera ett sannolikhetsmått på ett euklidiskt utrymme . Låta vara ett sannolikhetsmått på , Det vill säga ett sannolikhetsutrymme definieras , där betecknar Borel σ-algebra på . Låt beteckna Lebesgue-måttet på . Sannolikheten kallas absolut kontinuerlig (med avseende på Lebesgue-måttet) ( ) om någon Borel-uppsättning med noll Lebesgue-mått också har sannolikheten noll: $\mathbb {R} ^{n}$ $\mathbb {P}$ $\mathbb {R} ^{n}$ $\left(\mathbb{R}^n,\mathcal{B}(\mathbb{R}^n),\mathbb{P}\right)$ $\mathcal{B}(\mathbb{R}^n)$ $\mathbb {R} ^{n}$ $m$ $\mathbb {R} ^{n}$ $\mathbb {P}$ $\mathbb{P} \ll m$

\forall B \in \mathcal{B}(\mathbb{R}^n),\; ( m(B) = 0 ) \Högerpil ( \mathbb{P}(B) = 0 ) .

Om sannolikheten är absolut kontinuerlig, så finns det enligt Radon-Nikodyms sats en icke-negativ Borel-funktion så att $\mathbb {P}$ $f\colon\mathbb{R}^n \to [0,\infty)$

\mathbb{P}(B) = \int\limits_{B} f(x)\, dx

där den konventionella förkortningen används , och integralen förstås i betydelsen Lebesgue . $m(dx) \equiv dx$

Mer generellt, låt vara ett godtyckligt mätbart utrymme , och låt och vara två mått på detta utrymme. Om det finns en icke-negativ , som gör det möjligt att uttrycka måttet i termer av måttet i formuläret $(X, \mathcal F)$ $\mu$ $\nu$ $f$ $\nu$ $\mu$

\nu(A) = \int_A fd\mu,

då kallas en sådan funktion för måttets densitet i förhållande till måttet $\nu$ $\mu$ , eller Radon-Nikodym-derivatan av måttet med avseende på måttet $\nu$ $\mu$ , och betecknas

f=\frac{d\nu}{d\mu}

Densitet för en slumpvariabel

Låt ett godtyckligt sannolikhetsutrymme och en slumpvariabel (eller en slumpmässig vektor) definieras. inducerar ett sannolikhetsmått på , som kallas fördelningen av den slumpmässiga variabeln . $(\Omega ,{\mathcal {F}),\mathbb {P} )$ $X\colon \Omega \to \mathbb {R} ^{n}$ $X$ $\mathbb {P} ^{X}$ $\left(\mathbb{R}^n,\mathcal{B}(\mathbb{R}^n)\right)$ $X$

Om fördelningen är absolut kontinuerlig med avseende på Lebesgue-måttet, kallas dess densitet för den slumpmässiga variabelns täthet . Slumpvariabeln i sig sägs vara absolut kontinuerlig. $\mathbb {P} ^{X}$ $f_X = \frac{d\mathbb{P}^X}{dx}$ $X$ $X$

För en absolut kontinuerlig slumpvariabel har vi alltså:

\mathbb{P}(X \i B) = \int\limits_{B} f_X(x)\, dx

. Anteckningar

Inte varje slumpmässig variabel är absolut kontinuerlig. Varje diskret fördelning, till exempel, är inte absolut kontinuerlig med avseende på Lebesgue-måttet, och därför har diskreta slumpvariabler ingen densitet.

Fördelningsfunktionen för en absolut kontinuerlig slumpvariabel är kontinuerlig och kan uttryckas i termer av densitet enligt följande: $X$

F_X(x_1,\ldots, x_n) = \mathbb{P}\left(X \in \prod\limits_{i=1}^n (-\infty,x_i]\right) = \int\limits_{-\ infty}^{x_n} \!\!\ldots \!\!\int\limits_{-\infty}^{x_1} f_X(x'_1,\ldots, x'_n)\, dx'_1\ldots dx '_n

I det endimensionella fallet:

F_X(x) = \int\limits_{-\infty}^x f_X(x')\, dx'

Om , då , och $f_X \in C(\mathbb{R}^n)$ $F_X \in \mathcal{D}(\mathbb{R}^n)$

\frac{\partial^n}{\partial x_1 \ldots \partial x_n} F_X(x_1,\ldots, x_n) = f_X(x_1,\ldots, x_n)

I det endimensionella fallet:

\frac{d}{dx} F_X(x) = f_X(x)

Den matematiska förväntan av en funktion från en absolut kontinuerlig slumpvariabel kan skrivas som:

\mathbb{E}[g(X)] = \int\limits_{\mathbb{R}^n} g(x) \, \mathbb{P}^X(dx) = \int\limits_{\mathbb{ R}^n} g(x)\, f_X(x)\, dx

var är en Borel-funktion, så den är definierad och ändlig. $g\colon \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}$ $\mathbb{E}[g(X)]$

Densitetstransformation av en slumpvariabel

Låta vara en absolut kontinuerlig slumpmässig variabel, och vara en injektiv kontinuerligt differentierbar funktion så att , Där är Jacobian av funktionen vid punkten . Då är den slumpmässiga variabeln också absolut kontinuerlig, och dess densitet har formen: $X\colon \Omega \to \mathbb {R} ^{n}$ $g\colon\mathbb{R}^n \till \mathbb{R}^n$ $J_g(x) \not=0,\; \forall x\in \mathbb{R}^n$ $J_g(x)$ $g$ $x$ $Y = g(X)$

f_Y(y) = f_X\left(g^{-1}(y)\right) \vert J_{g^{-1}}(y) \vert

I det endimensionella fallet:

f_Y(y) = f_X\left(g^{-1}(y)\right) \left\vert \frac{dg^{-1}}{dy}(y)\right\vert

Sannolikhetstäthetsegenskaper

Sannolikhetstätheten definieras nästan överallt . Om är en sannolikhetstäthet och nästan överallt med avseende på Lebesgue-måttet, så är funktionen också en sannolikhetstäthet ./ $f$ $\mathbb {P}$ $f(x)=g(x)$ $g$ $\mathbb {P}$

Integralen av densiteten över hela utrymmet är lika med enhet:

\mathbb{P}\left(\mathbb{R}^n\right) = \int\limits_{\mathbb{R}^n} f(x)\, dx = 1

Omvänt, om är en icke-negativ nästan överallt funktion sådan att , då finns det ett absolut kontinuerligt sannolikhetsmått på sådan som är dess densitet. $f(x)$ $\int\limits_{\mathbb{R}^n}f(x)\, dx = 1$ $\mathbb {P}$ $\mathbb {R} ^{n}$ $f(x)$

Ändring av mått i Lebesgue-integralen:

\int\limits_{\mathbb{R}^n} \varphi(x)\, \mathbb{P}(dx) = \int\limits_{\mathbb{R}^n}\varphi(x)\, f (x)\, dx

var är någon Borel - funktion integrerbar med avseende på sannolikhetsmåttet . $\varphi ::\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R}$ ${}\mathbb {P}$

Exempel på absolut kontinuerliga distributioner

Se även

Litteratur

Sannolikhetstäthet // Great Russian Encyclopedia : [i 35 volymer] / kap. ed. Yu. S. Osipov . - M . : Great Russian Encyclopedia, 2004-2017.