Laplace distribution

Laplace distribution
Sannolikhetstäthet
distributionsfunktion
alternativ	$\textstil\alpha>0$ - skalfaktor - skiftfaktor $\beta\in\mathbb{R}$
Bärare	$x\in (-\infty ;\infty )$
Sannolikhetstäthet	$\frac{\alpha}{2}\,e^{-\alpha\|x-\beta\|}$
distributionsfunktion	${\begin{cases}{\frac {1}{2}}e^{\alpha (x-\beta )},&x\leqslant \beta \\1-{\frac {1}{2} }e^{-\alpha (x-\beta )},&x>\beta \end{cases}}$
Förväntat värde	$\beta$
Median	$\beta$
Mode	$\beta$
Dispersion	${\displaystyle {\frac {2}{\alpha ^{2))))$
Asymmetrikoefficient	$0$
Kurtos koefficient	$3$
Differentialentropi	$\ln {\frac {2e}{\alpha ))$
Genererande funktion av moment	?
karakteristisk funktion	$\frac{\alpha^{2}e^{it\beta}}{\alpha^{2}+t^{2}}$

Laplacefördelning ( dubbel exponentiell ) - i sannolikhetsteorin är detta en kontinuerlig fördelning av en stokastisk variabel , där sannolikhetstätheten är

f(x)={\frac {\alpha }{2))\,e^{-\alpha |x-\beta |},\quad -\infty <x<+\infty ,

var är skalaparametern, är skiftparametern. $\alfa >0$ $-\infty<\beta<+\infty$

Distributionsfunktion

Per definition är fördelningsfunktionen integralen av distributionstätheten:

F(x)=\int \limits _{-\infty }^{x}f(t)\,dt={\frac {\alpha }{2))\int \limits _{-\infty }^{x}e^{-\alpha |t-\beta |}\,dt.

För integration är det nödvändigt att överväga två fall:

F(x)={\begin{cases}{\frac {1}{2}}e^{\alpha (x-\beta )},&x\leqslant \beta ,\\1-{\frac {1}{2}}e^{-\alpha (x-\beta )},&x>\beta .\end{cases}}

Kontrollera egenskaperna för den resulterande funktionen:

$F(x)$ minskar inte eftersom det är positivt. $f(x)$
$F(\beta -0)=F(\beta +0)={\frac {1}{2))$ är därför kontinuerlig vid punkten $F(x)$ $\beta$
$F(x)$ begränsad.
Gränser i oändligheten:

\lim _{x\to -\infty }F(x)={\frac {1}{2))\lim _{x\to -\infty}e^{\alpha (x-\beta )}=0,

\lim _{x\to +\infty }F(x)=1-{\frac {1}{2}}\lim _{x\to +\infty }e^{-\alpha (x -\beta )}=1.

Matematisk förväntan och varians

Densitetsfunktionens exponent innehåller skillnadsmodulen , så intervallet i beräkningarna måste delas in i och . Integraler tas i delar , när oändligheter ( ) ersätts, beaktas formens gränser . Som ett resultat $(-\infty,+\infty)$ $(-\infty ,\beta )$ $[\beta,+\infty)$ $\pm\infty$ $\lim_{x\to\pm\infty}r(x)$

\operatorname {E} \xi =\int \limits _{-\infty }^{+\infty }xf(x)dx=\beta

beräkningsdetaljer

$\operatörsnamn{E}\xi=\int\limits_{-\infty}^{+\infty} xf(x) dx=\frac{\alpha}{2}\int\limits_{-\infty}^{\ beta}xe^{\alpha(x-\beta)}dx+\frac{\alpha}{2}\int\limits_{\beta}^{+\infty}xe^{-\alpha(x-\beta) }dx=$ $=\frac{\alpha}{2}\frac{1}{\alpha} xe^{\alpha(x-\beta)}\bigg|_{-\infty}^{\beta}-\frac{\ alpha}{2}\frac{1}{\alpha}\int\limits_{-\infty}^{\beta}e^{\alpha(x-\beta)}dx-\frac{\alpha}{2 }\frac{1}{\alpha} xe^{-\alpha(x-\beta)}\bigg|_{\beta}^{+\infty}+\frac{\alpha}{2}\frac{ 1}{\alpha}\int\limits_{\beta}^{+\infty}e^{-\alpha(x-\beta)}dx=$ $=\frac{\beta}{2}-\frac{1}{2\alpha}e^{\alpha(x-\beta)}\bigg|_{-\infty}^{\beta}+\frac {\beta}{2}-\frac{1}{2\alpha}e^{-\alpha(x-\beta)}\bigg|_{\beta}^{+\infty}=\beta-\ frac{1}{2\alpha}+\frac{1}{2\alpha}=\beta$

{\displaystyle \operatorname {E} \xi ^{2}=\int \limits _{-\infty }^{+\infty }x^{2}f(x)dx=\beta ^{2}+{ \frac {2}{\alpha ^{2))))

beräkningsdetaljer

$\operatörsnamn{E}\xi^{2}=\int\limits_{-\infty}^{+\infty}x^{2}f(x) dx=\frac{\alpha}{2}\int\ limits_{-\infty}^{\beta}x^{2}e^{\alpha(x-\beta)}dx+\frac{\alpha}{2}\int\limits_{\beta}^{+\ infty}x^{2}e^{-\alpha(x-\beta)}dx=$ $=\frac{\alpha}{2}\frac{x^{2}e^{\alpha(x-\beta))){\alpha}\bigg|_{-\infty}^{\beta}- \frac{\alpha}{2}\frac{2}{\alpha}\int\limits_{-\infty}^{\beta}xe^{\alpha(x-\beta)}dx+\frac{\alpha }{2}\frac{x^{2}e^{-\alpha(x-\beta)}}{-\alpha}\bigg|_{\beta}^{+\infty}+\frac{\ alpha}{2}\frac{2}{\alpha}\int\limits_{\beta}^{+\infty}xe^{-\alpha(x-\beta)}dx=$ $=\frac{\beta^{2}}{2}-\frac{\beta}{\alpha}+\frac{1}{\alpha^{2}}+\frac{\beta^{2}} {2}+\frac{\beta}{\alpha}+\frac{1}{\alpha^{2}}=\beta^{2}+\frac{2}{\alpha^{2}}$

\operatörsnamn{D}\xi=\operatörsnamn{E}\xi^{2}-(\operatörsnamn{E}\xi)^{2}=\beta^{2}+\frac{2}{\alpha^ {2}}-\beta^{2}=\frac{2}{\alpha^{2}}

Moments

\operatorname {E} \xi ^{k}=\int \limits _{-\infty }^{+\infty }x^{k}f(x)dx=\summa _{i=0} ^{\left\lfloor k/2\right\rfloor }{\frac {\beta ^{k-2i}}{\alpha ^{2i}}}{\frac {k!}{(k-2i)! }}

var är heltalsdelen av s. $\left\lfloor s\right\rfloor$

beräkningsdetaljer

$\operatörsnamn{E}\xi^{k}=\int\limits_{-\infty}^{+\infty}x^{k}f(x)dx=\frac{\alpha}{2}\int\ limits_{-\infty}^{\beta}x^{k}e^{\alpha(x-\beta)}dx+\frac{\alpha}{2}\int\limits_{\beta}^{+\ infty}x^{k}e^{-\alpha(x-\beta)}dx$

Genom att tillämpa formeln integration för delar flera gånger får vi:

$\int x^{k}e^{\alpha(x-\beta)}dx=\frac{1}{\alpha}x^{k}e^{\alpha(x-\beta)}-\frac {k}{\alpha^{2}}x^{k-1}e^{\alpha(x-\beta)}+\frac{k(k-1)}{\alpha^{3}}x ^{k-2}e^{\alpha(x-\beta)}-$ $\ldots+(-1)^{k-1}\frac{k(k-1)\cdots 3\cdot 2}{\alpha^{k}}xe^{\alpha(x-\beta)}+( -1)^{k}\frac{k(k-1)\cdots 2\cdot 1}{\alpha^{k+1}}e^{\alpha(x-\beta)}$

$\int x^{k}e^{-\alpha(x-\beta)}dx=-\frac{1}{\alpha}x^{k}e^{-\alpha(x-\beta)} -\frac{k}{\alpha^{2}}x^{k-1}e^{-\alpha(x-\beta)}-\frac{k(k-1)}{\alpha^{ 3}}x^{k-2}e^{-\alpha(x-\beta)}-$ $\ldots-\frac{k(k-1)\cdots 3\cdot 2}{\alpha^{k}}xe^{-\alpha(x-\beta)}-\frac{k(k-1) \cdots 2\cdot 1}{\alpha^{k+1}}e^{-\alpha(x-\beta)}$

Efter att ha ersatt integrationens gränser:

$\int\limits_{-\infty}^{\beta}x^{k}e^{\alpha(x-\beta)}dx=\frac{1}{\alpha}\beta^{k}-\ frac{k}{\alpha^{2}}\beta^{k-1}+\frac{k(k-1)}{\alpha^{3}}\beta^{k-2}-$ $\ldots+(-1)^{k-1}\frac{k(k-1)\cdots 3\cdot 2}{\alpha^{k))\beta+(-1)^{k}\frac{k (k-1)\cdots 2\cdot 1}{\alpha^{k+1}}$

$\int\limits_{\beta}^{+\infty}x^{k}e^{-\alpha(x-\beta)}dx=\frac{1}{\alpha}\beta^{k}+ \frac{k}{\alpha^{2}}\beta^{k-1}+\frac{k(k-1)}{\alpha^{3}}\beta^{k-2}+\ ldots+\frac{k(k-1)\cdots 3\cdot 2}{\alpha^{k))\beta+\frac{k(k-1)\cdots 2\cdot 1}{\alpha^{k+ one }}$

Eftersom den första integralen beror på pariteten för k, övervägs två fall: k är jämnt och k är udda:

$\operatörsnamn{E}\xi^{k}= \begin{cases} \beta^{k}+\frac{k(k-1)}{\alpha^{2}}\beta^{k-2} +\ldots+\frac{k(k-1)\cdots 2\cdot 1}{\alpha^{k)), & k=2n \\ \beta^{k}+\frac{k(k-1) }{\alpha^{2}}\beta^{k-2}+\ldots+\frac{k(k-1)\cdots 3\cdot 2}{\alpha^{k-1}}\beta, & k=2n+1 \end{cases}$

Eller i allmänna ordalag:

$\operatörsnamn{E}\xi^{k}=\sum_{i=0}^{\left \lfloor k/2\right\rfloor}\frac{\beta^{k-2i}}{\alpha^{ 2i}}\frac{k!}{(k-2i)!}$ , var är heltalsdelen av s. $\left\lfloor s\right\rfloor$

Karakteristisk funktion

\phi (t)=\int \limits _{-\infty }^{+\infty }e^{itx}f(x)dx={\frac {\alpha ^{2}e^{it \beta }}{\alpha ^{2}+t^{2}}}

beräkningsdetaljer

$\phi(t)=\int\limits_{-\infty}^{+\infty}e^{itx}f(x)dx=\frac{\alpha}{2}\int\limits_{-\infty} ^{\beta}e^{itx}e^{\alpha(x-\beta)}dx+\frac{\alpha}{2}\int\limits_{\beta}^{+\infty}e^{itx }e^{-\alpha(x-\beta)}dx$

Båda integralerna hittas med Eulers formel och det klassiska exemplet på att hitta integraler av formen och (se Integration av delar: Exempel ): $\textstyle e^{ix}=\cos x+i\sin x$ $\int e^{\alpha x}\sin \beta x\,dx$ $\int e^{\alpha x}\cos \beta x\,dx$

$\int\limits_{-\infty}^{\beta}e^{itx}e^{\alpha(x-\beta)}dx=\int\limits_{-\infty}^{\beta}(\cos tx + i\sin tx)e^{\alpha(x-\beta)}dx=\int\limits_{-\infty}^{\beta}\cos tx\,e^{\alpha(x-\beta )}dx + i\int\limits_{-\infty}^{\beta}\sin tx\,e^{\alpha(x-\beta)}dx=$ $=\frac{e^{\alpha(x-\beta)}}{\alpha^{2}+t^{2}}\Big(\alpha\cos tx+t\sin tx\Big)\bigg| _{-\infty}^{\beta}+i\frac{e^{\alpha(x-\beta)}}{\alpha^{2}+t^{2}}\Big(a\sin tx -t\cos tx\Big)\bigg|_{-\infty}^{\beta}=$ $=\frac{1}{\alpha^{2}+t^{2}}\Big(\alpha e^{it\beta}+t(i\cos t \beta-\sin t \beta)\Big )$

$\int \limits _{\beta }^{+\infty }e^{itx}e^{-\alpha (x-\beta )}dx=\int \limits _{\beta }^{+ \infty }(\cos tx+i\sin tx)e^{-\alpha (x-\beta )}dx=\int \limits _{\beta }^{+\infty }\cos tx\,e^ {-\alpha (x-\beta )}dx+i\int \limits _{\beta }^{+\infty }\sin tx\,e^{-\alpha (x-\beta )}dx=$ $=\frac{e^{-\alpha(x-\beta)}}{\alpha^{2}+t^{2}}\Big(-\alpha\cos tx+t\sin tx\Big)\ bigg|_{\beta}^{+\infty}+i\frac{e^{-\alpha(x-\beta))){\alpha^{2}+t^{2}}\Big(- a\sin tx-t\cos tx\Big)\bigg|_{\beta}^{+\infty}=$ $\frac{1}{\alpha^{2}+t^{2}}\Big(\alpha e^{it\beta}-t(i\cos t\beta-\sin t\beta)\Big)$

Den sista karakteristiska funktionen är:

$\phi(t)=\frac{\alpha}{2}\frac{1}{\alpha^{2}+t^{2}}\Big(ae^{it\beta}+t(i\cos t\beta-\sin t\beta)\Big)+\frac{\alpha}{2}\frac{1}{\alpha^{2}+t^{2}}\Big(\alpha e^{ it\beta}-t(i\cos t\beta-\sin t\beta)\Big)=\frac{\alpha^{2}e^{it\beta}}{\alpha^{2}+t ^{2}}$

Applikation

Fördelningen tillämpas på signalbehandlingsmodellering, biologisk processmodellering, ekonomi och finans. Distribution kan tillämpas:

till kreditrisker;
till försäkrade händelser;
när du arbetar med Kalman-filtret .

Sannolikhetsfördelningar
Diskret	Bernoulli Binom Geometrisk hypergeometrisk Logaritmisk Negativ binomial Poisson Diskret uniform Multinomial
Absolut kontinuerligt	Beta Weibulla Gamma- hyperexponentiell Gompertz Kolmogorov Cauchy Laplace lognormal Normal (Gaussian) Logistisk Nakagami Pareto Pearson halvcirkelformig kontinuerlig uniform Ris Rayleigh Studerande Tracey - Vidoma Fiskare Chi-kvadrat Exponentiell Varians-gamma Multivariat normal kopula