Tracy-Widom distribution

Tracy-Widom-fördelningen är en statistisk fördelning som introducerades av Craig Tracy och Harold Widom för att beskriva det normaliserade största egenvärdet för en slumpmässig hermitisk matris [1] .

I tillämpade termer är Tracy-Widom-distributionen en övergångsfunktion mellan två faser av systemet: med svagt kopplade och starkt kopplade komponenter [2] . Det uppstår också som en fördelning av längden av den största ökande undersekvensen av slumpmässiga permutationer [3] , i fluktuationer i flödet av en asymmetrisk process med enkla undantag (ASEP) med ett stegvis initialtillstånd [4] [5] , och i förenklade matematiska modeller av beteendet i de största vanliga problemföljderna av slumpmässiga indata [6] [7] .

F 1 - fördelningen är särskilt intressant ur multivariatstatistikens synvinkel [ [8] [9] [10] [11] .

Definition

Tracy-Widom-distributionen definieras som gränsen [12]

F_{\beta }(s)=\lim \limits _{{n\högerpil \infty }}{{\rm {Prob}}}\left((\lambda _{{{\rm {max}}}} -{\sqrt {2n)))({\sqrt {2}})n^{{1/6}}\leq s\right){\mbox{,}}

där är det största egenvärdet för en slumpmässig matris av en standard (för matriskomponenter ) Gaussisk ensemble : för β=1 - ortogonal, för β=2 - enhetlig, för β=4 - symplektisk. Offseten används för att centrera fördelningen vid punkt 0. Multiplikatorn används eftersom standardavvikelsen för fördelningen skalas till . $\lambda _{{{\rm {max))))$ $n\ gånger n$ $\sigma =1/{\sqrt 2}$ ${\sqrt {2n}}$ $({\sqrt {2}})n^{{1/6}}$ $n^{{-1/6}}$

Motsvarande representationer

Den kumulativa Tracy-Widom-distributionsfunktionen för enhetliga ensembler ( ) kan representeras som Fredholm-determinanten $\beta=2$

F_{2}(s)=\det(I-A_{s})

operatör på en kvadratintegrerbar funktion på strålen med en kärna när det gäller luftiga funktioner när det gäller $Som$ $(s,\infty )$ ${\mathrm {Ai}}$

{\frac {\mathrm {Ai} (x)\mathrm {Ai} '(y)-\mathrm {Ai} '(x)\mathrm {Ai} (y)}{xy)).

Den kan också representeras som en integral

F_{2}(s)=\exp \left(-\int _{s}^{\infty }(xs)q^{2}(x)\,dx\right)

genom lösningen av Painlevé-ekvationen II

q^{{\prime \prime }}(s)=sq(s)+2q(s)^{3}\,{\mbox{,}}

där , kallad Hastings–McLeod-lösningen, uppfyller gränsvillkoren: $q$

\displaystyle q(s)\sim {\textrm {Ai}}(s),s\rightarrow \infty .

Andra Tracy-Widom-distributioner

Tracy-Widom-distributionerna för både ortogonala ( ) och symplektiska ( ) ensembler kan också uttryckas i termer av Painlevé-transcendenten [13] : $F_{1}$ $F_{4}$ $\beta=1$ $\beta=4$ $q$

F_{1}(s)=\exp \left(-{\frac {1}{2}}\int _{s}^{\infty }q(x)\,dx\right)\,\left( F_{2}(s)\höger)^{{1/2}}

och

F_{4}(s/{\sqrt {2}})={\mathrm {ch}}\left({\frac {1}{2}}\int _{s}^{\infty }q(x )\,dx\right)\,\left(F_{2}(s)\right)^{{1/2}}.

Det finns en utvidgning av denna definition till fall för alla [14] . $F_{\beta }$ $\beta>0$

Numeriska uppskattningar

Numeriska metoder för att erhålla ungefärliga lösningar av Painlevé II- och Painlevé V-ekvationerna och numeriskt bestämda fördelningar av egenvärden för slumpmässiga matriser i beta-ensembler presenterades först 2005 [15] (med MATLAB ). Dessa ungefärliga metoder förfinades senare analytiskt [16] och används för att erhålla numerisk analys av Painlevé II och Tracy-Widom distributioner (för ) i S-PLUS . Dessa fördelningar tabellerades [16] till fyra signifikanta siffror genom argumentvärden med ett steg på 0,01; I arbetet ingick även en statistisk tabell över p - värden . Under 2009 [17] , exakta och snabba algoritmer för numerisk bestämning och densitet fungerar för . Dessa algoritmer kan användas för att numeriskt beräkna medelvärde , varians , skevhet och kurtos för distributioner . $\beta=1,2,4$ $F_{\beta }$ $\textstyle f_{\beta }(s)={dF_{\beta } \over ds}$ $\beta=1,2,4$ $F_{\beta }$

β	Medel	Dispersion	Asymmetrikoefficient _	Överskott
ett	−1,2065335745820	1,607781034581	0,29346452408	0,1652429384
2	−1,771086807411	0,8131947928329	0,224084203610	0,0934480876
fyra	−2,306884893241	0,5177237207726	0,16550949435	0,0491951565

Funktioner för att arbeta med Tracy-Widom-lagarna finns också i paketet för R RMTstat [18] och i paketet för MATLAB RMLab [19] .

En enkel approximation baserad på partiska gammafördelningar har också beräknats [20] .

Anteckningar

↑ Dominici, D. (2008) Specialfunktioner och ortogonala polynom American Math. soc.
↑ Mystisk statistisk lag kan äntligen ha en förklaring . wired.com (27 oktober 2014). Hämtad 30 september 2017. Arkiverad från originalet 17 juli 2017. (obestämd)
↑ Baik, Deift & Johansson (1999) .
↑ Johanson, 2000 .
↑ Tracy, Widom, 2009 .
↑ Majumdar & Nechaev (2005) .
↑ Se Takeuchi & Sano, 2010 , Takeuchi et al., 2011 för en experimentell verifiering (och bekräftelse) av att fluktuationerna i gränssnittet för en växande droppe (eller bas) beskrivs av Tracy-Widom-distributionen (eller ) som förutspåtts i ( Prähofer & Spohn, 2000 ) $F_{2}$ $F_{1}$
↑ Johnstone, 2007 .
↑ Johnstone, 2008 .
↑ Johnstone, 2009 .
↑ För en diskussion om universalitet , se Deift (2007 ). För Appendix F 1 för att sluta sig till populationsstruktur från genetiska data, se Patterson, Price & Reich (2006 ) $F_{\beta }$ $\beta=1,2,4$
↑ Tracy, CA & Widom, H. (1996), On ortogonal and symplectic matrix ensembles , Communications in Mathematical Physics vol . ,10.1007/BF02099545:doi 177(3): 727–754, > Arkiverad 20 december 2014 på Wayback Machine
↑ Tracy, Widom, 1996 .
↑ Ramírez, Rider & Virág (2006) .
↑ Edelman & Persson (2005) .
↑ 12 Bejan , 2005 .
↑ Bornemann, 2010 .
↑ Johnstone et al. (2009) .
↑ Dieng, 2006.
↑ Chiani, 2012 .

Litteratur

Dotsenko V. S. Universell slumpmässighet // Phys . - 2011. - T. 181 , nr 3 . - doi : 10.3367/UFNr.0181.201103b.0269 .
Baik, J.; Deift, P. & Johansson, K. (1999), Om fördelningen av längden av den längsta ökande undersekvensen av slumpmässiga permutationer , Journal of the American Mathematical Society vol. 12 (4): 1119–1178 , DOI 10.1090/S0894- 0347-99-00307-0 .
Deift, P. (2007), Universalitet för matematiska och fysiska system , International Congress of Mathematicians (Madrid, 2006) , European Mathematical Society , sid. 125–152 .
Johansson, K. (2000), Formfluktuationer och slumpmässiga matriser , Communications in Mathematical Physics vol. 209 (2): 437–476 , DOI 10.1007/s002200050027 .
Johansson, K. (2002), Toeplitz-determinanter, slumpmässig tillväxt och determinanta processer , Proc. International Congress of Mathematicians (Peking, 2002) , vol. 3, Peking: Higher Ed. Tryck, sid. 53–62 .
Johnstone, I.M. (2007), Högdimensionell statistisk slutledning och slumpmässiga matriser , International Congress of Mathematicians (Madrid, 2006) , European Mathematical Society , s. 307–333 .
Johnstone, IM (2008), Multivariate analysis and Jacobi-ensembler: största egenvärde, Tracy–Widom limits and rates of convergence , Annals of Statistics vol. 36 (6): 2638–2716, PMID 20157626 , DOI 10.1214- 605 .
Johnstone, IM (2009), Ungefärlig nollfördelning av den största roten i multivariat analys , Annals of Applied Statistics vol 3 (4): 1616–1633, PMID 20526465 , DOI 10.1214/08-AOAS220 .
Majumdar, Satya N. & Nechaev, Sergei (2005), Exakta asymptotiska resultat för Bernoulli-matchningsmodellen för sekvensanpassning , Physical Review E T. 72 (2): 020901, 4 , DOI 10.1103/PhysRevE.72.020901 .
Patterson, N.; Price, AL & Reich, D. (2006), Populationsstruktur och egenanalys , PLoS Genetics vol 2 (12): e190, PMID 17194218 , DOI 10.1371/journal.pgen.0020190 .
Prähofer, M. & Spohn, H. (2000), Universella distributioner för odlingsprocesser i 1+1-dimensioner och slumpmässiga matriser , Physical Review Letters vol. 84 (21): 4882–4885, PMID 10990822 , DOI 10.1103/PhysRev.48Lett.48Lett.48.48Lett.48 . .
Takeuchi, KA & Sano, M. (2010), Universal fluctuations of growing interfaces: Evidence in turbulent liquid crystals , Physical Review Letters vol. 104 (23): 230601, PMID 20867221 , DOI 10.1103/Phytt.1104.Phys.1004.Phys .
Takeuchi, K.A.; Sano, M.; Sasamoto, T. & Spohn, H. (2011), Växande gränssnitt avslöjar universella fluktuationer bakom skalinvarians , Scientific Reports vol 1: 34 , DOI 10.1038/srep00034
Tracy, CA & Widom, H. (1993), Level-spacing distributions and the Airy kernel , Physics Letters B vol 305 (1-2): 115–118
Tracy, CA & Widom, H. (1994), Level-spacing distributions and the Airy kernel , Communications in Mathematical Physics vol. 159 (1): 151–174 , DOI 10.1007/BF02100489 .
Tracy, CA & Widom, H. (2002), Distributionsfunktioner för största egenvärden och deras tillämpningar , Proc. International Congress of Mathematicians (Peking, 2002) , vol. 1, Peking: Högre Ed. Tryck, sid. 587–596 .
Tracy, CA & Widom, H. (2009), Asymptotics in ASEP with step initial condition , Communications in Mathematical Physics vol. 290 (1): 129–154 , DOI 10.1007/s00220-009-0761-0 .
Bejan, Andrei Iu. (2005), Största egenvärden och sampelkovariansmatriser. Tracy–Widom och Painleve II: Beräkningsaspekter och realisering i S-Plus med applikationer , M.Sc. avhandling, Institutionen för statistik, University of Warwick , < http://www.cl.cam.ac.uk/~aib29/TWinSplus.pdf > .
Bornemann, F. (2010), On the numerical evaluation of distributions in random matrix theory: A review with an invitation to experimental mathematics, Markov Processes and Related Fields vol. 16 (4): 803–866 .
Chiani, M. (2012), Fördelning av det största egenvärdet för verkliga Wishart- och Gaussiska slumpmatriser och en enkel approximation för Tracy–Widom-fördelningen .
Edelman, A. & Persson, P.-O. (2005), Numeriska metoder för egenvärdesfördelningar av slumpmässiga matriser .
Ramirez, JA; Rider, B. & Virág, B. (2006), Beta-ensembler, stochastic Airy spectrum, and a diffusion .

Länkar

Kuijlaars, Universality of distribution functions in random matrix theory , < http://web.mit.edu/sea06/agenda/talks/Kuijlaars.pdf > .
Tracy, CA & Widom, H. , Fördelningarna av slumpmatristeori och deras tillämpningar , < http://www.math.ucdavis.edu/~tracy/talks/SITE7.pdf > .
Johnstone, Iain; Ma, Zongming; Perry, Patrick & Shahram, Morteza (2009), Package 'RMTstat' , < http://cran.r-project.org/web/packages/RMTstat/RMTstat.pdf > .
Quanta Magazine: Vid långa ändar av en ny universell lag

Sannolikhetsfördelningar
Diskret	Bernoulli Binom Geometrisk hypergeometrisk Logaritmisk Negativ binomial Poisson Diskret uniform Multinomial
Absolut kontinuerligt	Beta Weibulla Gamma- hyperexponentiell Gompertz Kolmogorov Cauchy Laplace lognormal Normal (Gaussian) Logistisk Nakagami Pareto Pearson halvcirkelformig kontinuerlig uniform Ris Rayleigh Studerande Tracey - Vidoma Fiskare Chi-kvadrat Exponentiell Varians-gamma Multivariat normal kopula