Distributionsfunktion

Den aktuella versionen av sidan har ännu inte granskats av erfarna bidragsgivare och kan skilja sig väsentligt från versionen som granskades den 27 juni 2021; kontroller kräver 4 redigeringar .

Fördelningsfunktionen i sannolikhetsteorin är en funktion som kännetecknar fördelningen av en slumpvariabel eller slumpvektor; sannolikheten att en slumpvariabel X får ett värde mindre än x, där x är ett godtyckligt reellt tal. Under vissa förutsättningar (se nedan ), bestämmer helt den slumpmässiga variabeln.

Definition

Låt ett sannolikhetsutrymme ges och en stokastisk variabel med fördelningen definierad på den . Då kallas fördelningsfunktionen för en slumpvariabel funktionen som ges av formeln: $(\Omega ,{\mathcal {F}),\mathbb {P} )$ $X$ $\mathbb {P} ^{X}$ $X$ $F_{X}\colon \mathbb {R} \to [0,1]$

F_{X}(x)=\mathbb {P} (X\leqslant x)\equiv \mathbb {P} ^{X}\left((-\infty ,x]\right)

Det vill säga fördelningsfunktionen (sannolikheter) för en slumpvariabel kallas en funktion vars värde vid en punkt är lika med sannolikheten för en händelse , det vill säga en händelse som endast består av de elementära utfall för vilka . $X$ $F(x)$ $x$ $\{X\leqslant x\}$ $X(\omega )\leqslant x$

Egenskaper

$F_{X}$ kontinuerlig till höger [1] : $\lim\limits_{\varepsilon \to 0+} F_X(x+\varepsilon) = F_X(x)$
$F_{X}$ minskar inte på hela talraden.
$\lim \limits _{x\to -\infty }F_{X}(x)=0$ .
$\lim \limits _{x\to +\infty }F_{X}(x)=1$ .
Fördelningen av en slumpvariabel bestämmer unikt fördelningsfunktionen. $\mathbb {P} ^{X}$
- Det omvända är också sant: om en funktion uppfyller de fyra egenskaperna som anges ovan, så finns det ett sannolikhetsutrymme och en slumpvariabel definierade på den, så att det är dess fördelningsfunktion. $F(x)$ $F(x)$
Enligt definitionen av rätt kontinuitet har en funktion en rättighetsgräns vid vilken punkt som helst och den är samma som värdet på funktionen vid den punkten. $F_{X}$ $F_{X}(x+)$ $x\in \mathbb {R}$ $F_{X}(x)$
- På grund av att den inte minskar har funktionen också en vänstergräns vid vilken punkt som helst , som kanske inte sammanfaller med funktionens värde. Funktionen är alltså antingen kontinuerlig vid en punkt eller har en
diskontinuitet av det första slaget vid den . $F_{X}$ $F_{X}(x-)$ $x\in \mathbb {R}$ $F_{X}$

Identiteter

Det följer av sannolikhetens egenskaper att , så att : $\forall x\in \mathbb {R} ,\;\forall a,b\in \mathbb {R}$ $a<b$

$\mathbb {P} (X>x)=1-F_{X}(x)$ ;
$\mathbb {P} (X<x)=F_{X}(x-)$ ;
$\mathbb {P} (X\geqslant x)=1-F_{X}(x-)$ ;
$\mathbb {P} (X=x)=F_{X}(x)-F_{X}(x-)$ ;
$\mathbb {P} (a<X\leqslant b)=F_{X}(b)-F_{X}(a)$ ;
$\mathbb {P} (a\leqslant X\leqslant b)=F_{X}(b)-F_{X}(a-)$ ;
$\mathbb {P} (a<X<b)=F_{X}(b-)-F_{X}(a)$ ;
$\mathbb {P} (a\leqslant X<b)=F_{X}(b-)-F_{X}(a-)$ ;

Diskreta distributioner

Om den slumpmässiga variabeln är diskret, det vill säga dess fördelning ges unikt av sannolikhetsfunktionen $X$

\mathbb {P} (X=x_{i})=p_{i},\;i=1,2,\ldots

då är fördelningsfunktionen för denna slumpvariabel styckvis konstant och kan skrivas som: $F_{X}$

F_{X}(x)=\summa \limits _{i\kolon x_{i}\leqslant x}p_{i}

Denna funktion är kontinuerlig på alla punkter så att , och har en diskontinuitet av det första slaget vid punkter . $x\in \mathbb {R}$ $x\not =x_{i},\;\forall i$ $x=x_{i},\;\forall i$

Kontinuerliga distributioner

En distribution sägs vara kontinuerlig om dess distributionsfunktion är sådan . I detta fall: $\mathbb {P} ^{X}$ $F_{X}$

\mathbb {P} (X=x)=0,\;\forall x\in \mathbb {R}

och

F_{X}(x-0)=F_{X}(x),\;\forall x\in \mathbb {R}

och därför ser formlerna ut så här:

\mathbb {P} (X\in |a,b|)=F_{X}(b)-F_{X}(a)

där betyder vilket intervall som helst, öppet eller stängt, ändligt eller oändligt. $|a,b|$

Absolut kontinuerliga distributioner

En fördelning sägs vara absolut kontinuerlig om det finns en icke-negativ funktion nästan överallt (med avseende på Lebesgue-måttet ) så att: $\mathbb {P} ^{X}$ $f_{X}(x)$

F_{X}(x)=\int \limits _{-\infty }^{x}\!f_{X}(t)\,dt

Funktionen kallas för distributionstätheten . Det är känt att den absolut kontinuerliga distributionsfunktionen är kontinuerlig, och dessutom om , då , och $f_{X}$ $f_{X}\in C(\mathbb {R} )$ $F_{X}\in {\mathcal {D}}(\mathbb {R} )$

{\frac {d}{dx}}F_{X}(x)=f_{X}(x),\;\forall x\in \mathbb {R}

Variationer och generaliseringar

Ibland tas en sådan definition av distributionsfunktionen i den ryska litteraturen:

F_{X}(x)=\mathbb {P} (X<x)\equiv \mathbb {P} ^{X}\left((-\infty ,x)\right)

Distributionsfunktionen som definieras på detta sätt kommer att vara kontinuerlig till vänster, inte till höger.

Multivariata distributionsfunktioner

Låt ett fast sannolikhetsutrymme och vara en slumpmässig vektor. Då är fördelningen , som kallas fördelningen av en slumpmässig vektor eller den gemensamma fördelningen av slumpvariabler , ett sannolikhetsmått på . Funktionen av denna fördelning ges per definition enligt följande: $(\Omega ,{\mathcal {F}),\mathbb {P} )$ ${\displaystyle X=(X_{1},\ldots ,X_{n})\colon \Omega \to \mathbb {R} ^{n))$ $\mathbb {P} ^{X}$ $X$ $X_{1},\ldots ,X_{n}$ $\mathbb {R} ^{n}$ $F_{X}\colon \mathbb {R} ^{n}\to [0,1]$

F_{X}(x_{1},\ldots ,x_{n})=\mathbb {P} (X_{1}\leqslant x_{1},\ldots ,X_{n}\leqslant x_{n}) \equiv \mathbb {P} ^{X}\left(\prod \limits _{i=1}^{n}(-\infty ,x_{i}]\right)

där i detta fall betecknar den kartesiska produkten av mängder . $\driva$

Egenskaperna för flerdimensionella fördelningsfunktioner liknar det endimensionella fallet. En en-till-en-överensstämmelse mellan fördelningar på och multivariata distributionsfunktioner bevaras också. Men formler för att beräkna sannolikheter blir mycket mer komplicerade, och därför används fördelningsfunktioner sällan för . $\mathbb {R} ^{n}$ $n>1$

Se även

Sannolikhetstäthet

Anteckningar

↑ Shiryaev, A. N. Sannolikhet. - M . : Nauka, 1980. - S. 45, 166.

Ordböcker och uppslagsverk	Stor dansk Stor katalanska runt världen
I bibliografiska kataloger	GND : 4192219-0