Logistisk distribution

Den aktuella versionen av sidan har ännu inte granskats av erfarna bidragsgivare och kan skilja sig väsentligt från versionen som granskades den 26 juni 2016; verifiering kräver 1 redigering .

Logistisk distribution
Sannolikhetstäthet
distributionsfunktion
Beteckning	$L(\mu ,s)$
alternativ	$\mu$ $s>0$
Bärare	$x\in (-\infty ;+\infty )$
Sannolikhetstäthet	${\frac {e^{-(x-\mu )/s}}{s\left(1+e^{-(x-\mu )/s}\right)^{2}}}$
distributionsfunktion	${\displaystyle {\frac {1}{1+e^{-(x-\mu )/s))))$
Förväntat värde	$\mu$
Median	$\mu$
Mode	$\mu$
Dispersion	${\frac {\pi ^{2}}{3}}s^{2}$
Asymmetrikoefficient	$0$
Kurtos koefficient	$6/5$
Differentialentropi	$\ln(s)+2$
Genererande funktion av moment	$e^{\mu \,t}\,\mathrm {B} (1-s\,t,\;1+s\,t)$ för , Beta-funktion $\|s\,t\|<1$
karakteristisk funktion	$e^{i\mu t}\,\mathrm {B} (1-ist,\;1+ist)$ för $\|ist\|<1$

Logistisk fördelning i sannolikhetsteori och matematisk statistik är en av typerna av absolut kontinuerliga fördelningar . Formen liknar en normalfördelning , men har mer "tunga" ändar och en större kurtos koefficient .

Definition

Densitetsfunktion

Sannolikhetstäthetsfunktionen för den logistiska fördelningen ges av formeln:

f(x;\mu ,s)={\frac {e^{-(x-\mu )/s}}{s\left(1+e^{-(x-\mu )/s }\right)^{2}}}

={\frac {1}{4\,s}}\;\operatörsnamn {sech}^{2}\!\left({\frac {x-\mu }{2\,s}}\höger).

En alternativ parametrisering ges genom substitution . Då har densitetsfunktionen formen: $\sigma ^{2}=\pi ^{2}\,s^{2}/3$

g(x;\mu ,\sigma )=f(x;\mu ,\sigma {\sqrt {3}}/\pi )={\frac {\pi }{\sigma \,4{\sqrt {3 }}}}\,\operatörsnamn {sech}^{2}\!\left({\frac {\pi }{2{\sqrt {3))))\,{\frac {x-\mu }{ \sigma}}\right).

Distributionsfunktion

Den kumulativa distributionsfunktionen är den logistiska funktionen :

{\displaystyle F(x;\mu ,s)={\frac {1}{1+e^{-(x-\mu )/s))))

={\frac 12}+{\frac 12}\;\operatörsnamn {tanh}\!\left({\frac {x-\mu }{2\,s}}\höger).

Kvantiler

Den inversa funktionen till den kumulativa fördelningsfunktionen ( ), en generalisering av logit -funktionen: $F^{-1}$

F^{{-1}}(p;\mu ,s)=\mu +s\,\ln \left({\frac {p}{1-p}}\höger).

Fördelningsmoment

Matematisk förväntan

\mathbb {E} [X]=\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {xe^{-(x-\mu )/s}}{s\left(1+ e^{-(x-\mu )/s}\right)^{2))}\!dx=\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {x}{4\,s }}\;\operatörsnamn {sech} ^{2}\!\left({\frac {x-\mu }{2\,s}}\right)dx

Vi ersätter:

u={\frac {(x-\mu )}{2s}},du={\frac {1}{2s}}dx

\mathbb {E} [X]=\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {2\,s\,u+\mu }{2}}\;\operatörsnamn {sech} ^{2}\!\left(u\right)du

\mathbb {E} [X]=s\int _{-\infty }^{\infty }u\;\operatörsnamn {sech} ^{2}\!\left(u\right)du+{\ frac {\mu }{2}}\int _{-\infty }^{\infty }\;\operatörsnamn {sech} ^{2}\!\left(u\right)du

Rätt jämställdhet är:

\int _{{-\infty }}^{{\infty }}u\;\operatörsnamn {sech}^{2}\!\left(u\right)du=0

\mathbb {E} [X]={\frac {\mu }{2}}\int _{-\infty }^{\infty }\;\operatörsnamn {sech} ^{2}\!\ left(u\right)du={\frac {\mu }{2}}\,2=\mu

Ögonblick av högre ordning

Det centrala momentet av n:e ordningen kan beräknas som:

{\begin{aligned}\mathbb {E} [(X-\mu )^{n}]&=\int _{-\infty }^{\infty }(x-\mu )^{n }dF(x)=\int _{0}^{1}{\big (}F^{-1}(p)-\mu {\big )}^{n}dp\\&=s^{ n}\int _{0}^{1}{\Big [}\ln \!{\Big (}{\frac {p}{1-p}}{\Big )}{\Big ]}^{ n}\,dp.\end{aligned}}

Integralen kan uttryckas i termer av Bernoulli-tal :

\mathbb {E} [(X-\mu )^{n}]=s^{n}\pi ^{n}(2^{n}-2)\cdot |B_{n}|.

Litteratur

N. Balakrishnan (1992). Handbok för logistisk distribution . Marcel Decker, New York. ISBN 0-8247-8587-8 .
Johnson, NL, Kotz, S., Balakrishnan N. (1995). Kontinuerliga univariata distributioner . Vol. 2 (andra upplagan). ISBN 0-471-58494-0 .

Sannolikhetsfördelningar
Diskret	Bernoulli Binom Geometrisk hypergeometrisk Logaritmisk Negativ binomial Poisson Diskret uniform Multinomial
Absolut kontinuerligt	Beta Weibulla Gamma- hyperexponentiell Gompertz Kolmogorov Cauchy Laplace lognormal Normal (Gaussian) Logistisk Nakagami Pareto Pearson halvcirkelformig kontinuerlig uniform Ris Rayleigh Studerande Tracey - Vidoma Fiskare Chi-kvadrat Exponentiell Varians-gamma Multivariat normal kopula