Negativ binomialfördelning

Negativ binomialfördelning
Sannolikhetsfunktion
Beteckning	$\mathrm {OBS} (r,p)$
alternativ	$r>0$ $p\in (0;1)$ $q\equiv 1-s$
Bärare	$k\in \{0,1,2,\ldots\}$
Sannolikhetsfunktion	${\displaystyle {\frac {\Gamma (r+k)}{k!\,\Gamma (r)))\,p^{r}\,q^{k))$
distributionsfunktion	$I_{p}(r,k+1)$
Förväntat värde	${\frac {rq}{p}}$
Mode	$\left\lfloor {\frac {(r-1)q}{p}}\right\rfloor$ om om $\ r>1\$ $0$ $r\leq 1$
Dispersion	${\displaystyle {\frac {rq}{p^{2))))$
Asymmetrikoefficient	${\displaystyle {\frac {2-p}{\sqrt {r\,q))))$
Kurtos koefficient	${\frac {6}{r}}+{\frac {p^{2}}{r\,q}}$
Genererande funktion av moment	$\left({\frac {p}{1-qe^{t}}}\right)^{r}$
karakteristisk funktion	$\left({\frac {p}{1-qe^{i\,t}}}\right)^{r}$

Den negativa binomialfördelningen , även kallad Pascal-fördelningen, är fördelningen av en diskret slumpvariabel lika med antalet misslyckanden i en sekvens av Bernoulli-försök med en sannolikhet för framgång före den th framgången. $sid$ $r$

Definition

Låta vara en sekvens av oberoende slumpvariabler med Bernoulli-fördelningen , d.v.s. $\{X_{i}\}_{{i=1}}^{{\infty }}$

X_{i}=\left\{{\begin{matrix}1,&p\\0,&q\equiv 1-p\end{matrix}}\right.,\;i\in \mathbb {N } .

Vi konstruerar en slumpvariabel enligt följande. Låt vara numret på den e framgången i denna sekvens. Sedan . Mer strikt, låt . Sedan $Y$ $k+r$ $r$ $Y=k$ $S_{n}=\summa \limits _{i=1}^{n}X_{i}$

Y=\inf\{n\mid S_{n}=r\}-r

Fördelningen av en slumpvariabel som definieras på detta sätt kallas negativ binomial. Skriv: . $Y$ $Y\sim \mathrm {OBS} (r,p)$

Sannolikhets- och fördelningsfunktioner

Sannolikhetsfunktionen för en slumpvariabel har formen: $Y$

\mathbb {P} (Y=k)={\binom {k+r-1}{k))\,p^{r}q^{k},\;k=0,1,2 ,\ldots

Fördelningsfunktionen är styckvis konstant, och dess värden i heltalspunkter kan uttryckas i termer av den ofullständiga betafunktionen : $Y$

F_{Y}(k)=I_{p}(r,k+1)

Moments

Den genererande funktionen för momenten för den negativa binomialfördelningen har formen:

M_{Y}(t)=\left({\frac {p}{1-qe^{t}}}\right)^{r}

var

\mathbb {E} [Y]={\frac {rq}{p))

{\displaystyle \mathrm {D} [Y]={\frac {rq}{p^{2))))

Egenskaper

Låt då $Y_{i}\sim NB(r_{i},p)$ $\sum _{i}Y_{i}\sim NB\left(\sum _{i}r_{i},p\right)$

Specialfall av den negativa binomialfördelningen

Som r→∞ blir den negativa binomialfördelningen Poissonfördelningen
Om parametern r är ett heltal, så blir den negativa binomialfördelningen den generaliserade Bose-Einstein-fördelningen [1] .
För r=1 blir den negativa binomialfördelningen den geometriska fördelningen
För r=1 är den resulterande geometriska fördelningen Bose-Einstein-fördelningen för en enda källa [1] .

Anteckningar

↑ 1 2 Schopper H. (Ed.) Elektron - Positroninteraktioner. Berlin, Heidelberg: Springer-Verlag. 1992. S. 133// https://www.twirpx.org/file/3458790/ Arkiverad 10 maj 2021 på Wayback Machine

Sannolikhetsfördelningar
Diskret	Bernoulli Binom Geometrisk hypergeometrisk Logaritmisk Negativ binomial Poisson Diskret uniform Multinomial
Absolut kontinuerligt	Beta Weibulla Gamma- hyperexponentiell Gompertz Kolmogorov Cauchy Laplace lognormal Normal (Gaussian) Logistisk Nakagami Pareto Pearson halvcirkelformig kontinuerlig uniform Ris Rayleigh Studerande Tracey - Vidoma Fiskare Chi-kvadrat Exponentiell Varians-gamma Multivariat normal kopula