Binomial distribution

Binomial distribution
Sannolikhetsfunktion
distributionsfunktion
Beteckning	$B(n,p)$
alternativ	$n \geqslant 0$ - antal "försök" - sannolikhet för "framgång" $0\leqslant p\leqslant 1$
Bärare	${\displaystyle k\in \{0,\dots ,n\))$
Sannolikhetsfunktion	${\binom {n}{k}}\,p^{k}q^{nk}$
distributionsfunktion	$I_{1-p}(n-\lfloor k\rfloor ,1+\lfloor k\rfloor )$
Förväntat värde	$np$
Median	en av $\{\lgolv np\rgolv -1,\lgolv np\rgolv ,\lgolv np\rgolv +1\}$
Mode	$\lfloor (n+1)\,p\rfloor$
Dispersion	$npq$
Asymmetrikoefficient	${\displaystyle {\frac {qp}{\sqrt {npq))))$
Kurtos koefficient	${\frac {1-6pq}{npq}}$
Differentialentropi	${\frac 12}\log _{2}{\big (}2\pi e\,np(1-p){\big )}+O\left({\frac {1}{n))\right )$
Genererande funktion av moment	${\displaystyle (q+pe^{t})^{n))$
karakteristisk funktion	$(q+pe^{it})^{n}$

Binomialfördelning med parametrar och i sannolikhetsteori - fördelningen av antalet "framgångar" i en sekvens av oberoende slumpmässiga experiment , så att sannolikheten för "framgång" i var och en av dem är konstant och lika med . $n$ $sid$ $n$ $sid$

Definition

Låt vara en ändlig sekvens av oberoende slumpvariabler , som har samma Bernoulli-fördelning med parametern , det vill säga för varje tar värdet värdena ("framgång") och ("misslyckande") med sannolikheter och respektive. Sedan den slumpmässiga variabeln ${\textstil X_{1},\ldots ,X_{n}}$ $sid$ $i=1,\ldots ,n$ $X_{i}$ $ett$ $0$ $sid$ $q=1-p$

Y=X_{1}+X_{2}+\ldots +X_{n}

har en binomialfördelning med parametrar och . Detta skrivs som: $n$ $sid$

Y\sim {\mathrm {Bin}}(n,p)

En slumpvariabel tolkas vanligtvis som antalet framgångar i en serie identiska oberoende Bernoulli-försök, med en sannolikhet för framgång i varje försök. $Y$ $n$ $sid$

Sannolikhetsfunktionen ges av formeln:

p_{Y}(k)\equiv {\mathbb {P}}(Y=k)={\binom {n}{k}}\,p^{k}q^{{nk)),\ \ k =0,\ldots ,n,

var

{\binom {n}{k}}=C_{n}^{k}={\frac {n!}{(nk)!\,k!)}}

är den binomiala koefficienten .

Distributionsfunktion

Binomialfördelningens fördelningsfunktion kan skrivas som en summa:

F_{Y}(y)\equiv {\mathbb {P}}(Y\leqslant y)=\summa \limits _{{k=0}}^{{\lfloor y\rfloor }}{\binom {n }{k}}\,p^{k}q^{{nk}},\;y\in {\mathbb {R}}

där betecknar det största heltal som inte överstiger , eller som en ofullständig betafunktion : $\lgolv y\rgolv$ $y$

F_{Y}(y)\equiv {\mathbb {P}}(Y\leqslant y)=I_{{1-p}}(n-\lgolv y\rgolv ,\lgolv y\rgolv +1)

Moments

Den genererande funktionen för momenten i binomialfördelningen har formen:

M_{Y}(t)=\left(pe^{t}+q\höger)^{n}

var

{\mathbb {E}}[Y]=np

{\mathbb {E}}\left[Y^{2}\right]=np(q+np)

och variansen av den slumpmässiga variabeln .

{\mathbb {D}}[Y]=npq

Egenskaper för binomialfördelningen

Låt och . Sedan . $Y_{1}\sim {\mathrm {Bin}}(n,p)$ $Y_{2}\sim \mathrm {Bin} (n,1-p)$ $p_{{Y_{1}}}(k)=p_{{Y_{2}}}(nk)$
Låt och . Sedan . $Y_{1}\sim {\mathrm {Bin}}(n_{1},p)$ $Y_{2}\sim {\mathrm {Bin}}(n_{2},p)$ $Y_{1}+Y_{2}\sim {\mathrm {Bin}}(n_{1}+n_{2},p)$

Relation med andra distributioner

Om , då får vi Bernoulli - distributionen . $n=1$
Om det är stort, då i kraft av den centrala gränssatsen , där är en normalfördelning med matematisk förväntan och varians . $n$ ${\mathrm {Bin}}(n,p)\approx N(np,npq)$ $N(np,npq)$ $np$ $npq$
Om a är stort och är ett fast tal, var är Poissonfördelningen med parametern . $n$ $\lambda$ ${\mathrm {Bin}}(n,\lambda /n)\approx {\mathrm {P}}(\lambda )$ ${\mathrm {P}}(\lambda )$ $\lambda$
Om slumpvariabler och har binomialfördelningar och respektive, då den villkorliga fördelningen av slumpvariabeln under villkoret är hypergeometrisk . $X$ $Y$ $\mathrm {Bin} (D,p)$ $\mathrm {Bin} (ND,p)$ $X$ $X+Y=n$ ${\mathrm {HG}}(D,N,n)$

Se även

Sannolikhetsfördelningar
Diskret	Bernoulli Binom Geometrisk hypergeometrisk Logaritmisk Negativ binomial Poisson Diskret uniform Multinomial
Absolut kontinuerligt	Beta Weibulla Gamma- hyperexponentiell Gompertz Kolmogorov Cauchy Laplace lognormal Normal (Gaussian) Logistisk Nakagami Pareto Pearson halvcirkelformig kontinuerlig uniform Ris Rayleigh Studerande Tracey - Vidoma Fiskare Chi-kvadrat Exponentiell Varians-gamma Multivariat normal kopula