Gammafördelning

Den aktuella versionen av sidan har ännu inte granskats av erfarna bidragsgivare och kan skilja sig väsentligt från versionen som granskades den 19 september 2020; kontroller kräver 2 redigeringar .

Gammafördelning
Sannolikhetstäthet
distributionsfunktion
Beteckning	$\Gamma (k,\theta )$ eller [1] $\Gamma (\alpha ,\beta )$
alternativ	$k>0,\;\theta >0$
Bärare	$x\in (0,\infty )$
Sannolikhetstäthet	${\displaystyle {\frac {1}{\Gamma (k)\theta ^{k))}x^{k-1}e^{-{\frac {x}{\theta ))))$
distributionsfunktion	${\frac {1}{\Gamma (k)}}\gamma \left(k,{\frac {x}{\theta }}\right)$
Förväntat värde	$k\theta$
Median	Inget explicit stängningsuttryck
Mode	$(k-1)\theta$ på $k\geq 1$
Dispersion	$k\theta ^{2}$
Asymmetrikoefficient	${\frac {2}{{\sqrt {k))))$
Kurtos koefficient	${\frac {6}{k))$
Differentialentropi	${\begin{aligned}k&+\ln \theta +\ln \Gamma (k)\\&+(1-k)\psi (k)\end{aligned))$
Genererande funktion av moment	${\displaystyle (1-\theta t)^{-k))$ på $t<{\frac {1}{\theta ))$
karakteristisk funktion	${\displaystyle (1-\theta it)^{-k))$

Gammafördelningen i sannolikhetsteorin är en tvåparameterfamilj av absolut kontinuerliga fördelningar . Om parametern tar ett heltalsvärde kallas en sådan gammafördelning också för Erlang- fördelningen . $k$

Definition

Låt fördelningen av en slumpvariabel ges av sannolikhetstätheten , som har formen $X$

f_{X}(x)=\left\{{\begin{matrix}x^{{k-1}}{\frac {e^{{-x/\theta }}}{\theta ^{k} \,\Gamma (k)}},&x\geq 0\\0,&x<0\end{matris}}\right.,

var är Eulers gammafunktion .

\gamma (k)

Då sägs den slumpmässiga variabeln ha en gammafördelning med positiva parametrar och . De skriver . $X$ $\theta$ $k$ $X\thicksim \Gamma (k,\theta )$

Kommentar. Ibland används en annan parametrisering av familjen av gammafördelningar. Eller ange den tredje parametern — shift.

Moments

Den matematiska förväntan och variansen för en slumpvariabel , som har en gammafördelning, har formen $X$

{\displaystyle \mathbb {E} [X]=k{\theta ))

\mathbb {D} [X]=k{\theta ^{2))

Egenskaper för gammafördelningen

Om är oberoende slumpvariabler sådana att , då $X_{1},\ldots ,X_{n}$ $X_{i}\sim \Gamma (k_{i},\theta ),\;i=1,\ldots ,n$

Y=\sum \limits _{i=1}^{n}X_{i}\sim \Gamma \left(\sum _{i=1}^{n}k_{i},\theta \ höger)

Om , och är en godtycklig konstant, då $X\thicksim \Gamma (k,\theta )$ $a>0$

aX\thicksim \Gamma (k,a\theta )

Gammafördelningen är oändligt delbar .

Relation med andra distributioner

Gammafördelningen är en Pearsonfördelning av typ III [2] .
Exponentialfördelningen är ett specialfall av gammafördelningen:

\Gamma (1,1/\lambda )\equiv \mathrm {Exp} (\lambda )

Om är oberoende exponentiella slumpvariabler så att , då $X_{1},\ldots ,X_{k}$ $X_{i}\sim \mathrm {Exp} (\lambda ),\;i=1,\ldots ,k$

Y=\sum \limits _{i=1}^{k}X_{i}\sim \Gamma (k,1/\lambda )

Chi-kvadratfördelningen är ett specialfall av gammafördelningen:

\Gamma \left({\frac {n}{2)),2\right)\equiv \chi ^{2}(n)

Enligt den centrala gränssatsen kan gammafördelningen i stort sett approximeras av normalfördelningen : $k$

\Gamma (k,\theta )\approx \mathrm {N} (k\theta ,k\theta ^{2})

kl .

k\to\infty

Om är oberoende slumpvariabler sådana att , då $X_{1},X_{2}$ $X_{i}\sim \Gamma (k_{i},1),\;i=1,2$

{\frac {X_{1}}{X_{1}+X_{2}}}\sim {\mathrm {\mathrm{B} }}(k_{1},k_{2})

Rayleigh-fördelningen reduceras till gammafördelningen genom en förändring av variabeln.
Den vanliga Weibull-fördelningen reduceras till gammafördelningen genom en förändring av variabeln.
Nakagami-fördelningen , genom förändring av variabel, reduceras till gammafördelningen.
En naturlig generalisering av gammafördelningen är den trunkerade gammafördelningen.

Simulering av gammavärden

Med tanke på egenskapen att skala med parametern θ som nämns ovan räcker det att simulera gammavärdet för θ = 1. Övergången till andra värden av parametern utförs genom enkel multiplikation.

Med hjälp av det faktum att fördelningen sammanfaller med exponentialfördelningen får vi att om U är en slumpvariabel likformigt fördelad över intervallet (0, 1), då . $\gamma(1,1)$ ${-\ln U}\sim \Gamma(1,1)$

Nu, med hjälp av egenskapen k -sum, generaliserar vi detta resultat:

\sum _{i=1}^{n}{-\ln U_{i}}\sim \Gamma (n,1),

där U i är oberoende stokastiska variabler likformigt fördelade på intervallet (0, 1].

Det återstår att simulera gammavärdet för 0 < k < 1 och återigen tillämpa egenskapen k -summation. Det här är den svåraste delen.

Nedan är algoritmen utan bevis. Det är ett exempel på variansurval .

Sätt m lika med 1.
Generera och är oberoende slumpvariabler jämnt fördelade över intervallet (0, 1]. $V_{{2m-1}}$ $V_{{2m}}$
Om , var , gå till steg 4, annars gå till steg 5. $V_{{2m-1}}\leq v_{0}$ $v_{0}={\frac e{e+\delta ))$
Sätt . Gå till steg 6. $\xi _{m}=\left({\frac {V_{{2m-1}}}{v_{0}}}\right)^{{{\frac 1\delta }}},\ \eta _ {m}=V_{{2m}}\xi _{m}^{{\delta -1}}$
Sätt . $\xi _{m}=1-\ln {{\frac {V_{{2m-1}}-v_{0}}{1-v_{0}}}},\ \eta _{m}=V_ {{2m}}e^{{-\xi _{m}}}$
Om , öka sedan m med ett och återgå till steg 2. $\eta _{m}>\xi _{m}^{{\delta -1}}e^{{-\xi _{m}}}$
Acceptera för implementering . $\xi =\xi _{m}$ $\Gamma (\delta ,1)$

För att sammanfatta:

\theta \left(\xi -\sum _{i=1}^{[k]}{\ln U_{i}}\right)\sim \Gamma (k,\theta ),

där [ k ] är heltalsdelen av k , och ξ genereras av algoritmen ovan för δ = { k } (bråkdel av k ); U i och Vl är fördelade enligt ovan och är parvis oberoende.

Anteckningar

↑ Rodionov, 2015 , sid. 29.
↑ Korolyuk, 1985 , sid. 134.

Litteratur

Lagutin M.B. Visuell matematisk statistik. - M. : Binom, 2009. - 472 sid.
Zjukovsky M.E. , Rodionov I.V. Grunderna i sannolikhetsteorin. - M. : MIPT, 2015. - 82 sid.
Zjukovsky M.E. , Rodionov I.V. , Shabanov D.A. Introduktion till matematisk statistik. - M. : MIPT, 2017. - 109 sid.
Korolyuk V.S. , Portenko N.I. , Skorokhod A.V. , Turbin A.F. Handbok i sannolikhetslära och matematisk statistik. - M. : Nauka, 1985. - 640 sid.

Sannolikhetsfördelningar
Diskret	Bernoulli Binom Geometrisk hypergeometrisk Logaritmisk Negativ binomial Poisson Diskret uniform Multinomial
Absolut kontinuerligt	Beta Weibulla Gamma- hyperexponentiell Gompertz Kolmogorov Cauchy Laplace lognormal Normal (Gaussian) Logistisk Nakagami Pareto Pearson halvcirkelformig kontinuerlig uniform Ris Rayleigh Studerande Tracey - Vidoma Fiskare Chi-kvadrat Exponentiell Varians-gamma Multivariat normal kopula