Logaritmisk fördelning

logaritmisk fördelning
Beteckning	$\mathrm {Logg} (p)$
alternativ	$0<p<1$
Bärare	${\displaystyle k\in \{1,2,3,\dots \))$
Sannolikhetsfunktion	${\frac {-1}{\ln(1-p)}}\;{\frac {\;p^{k}}{k}}$
distributionsfunktion	$1+{\frac {\mathrm {B} _{p}(k+1,0)}{\ln(1-p)))$
Förväntat värde	${\frac {-1}{\ln(1-p)}}\;{\frac {p}{1-p}}$
Mode	$ett$
Dispersion	$-p\;{\frac {p+\ln(1-p)}{(1-p)^{2}\,\ln ^{2}(1-p)))$
Genererande funktion av moment	${\frac {\ln(1-p\,\exp(t))}{\ln(1-p)))$
karakteristisk funktion	${\frac {\ln(1-p\,\exp(i\,t))}{\ln(1-p)))$

Den logaritmiska fördelningen i sannolikhetsteorin är en klass av diskreta fördelningar. Den logaritmiska fördelningen används i en mängd olika tillämpningar, inklusive matematisk genetik och fysik.

Definition

Låt fördelningen av en slumpvariabel ges av sannolikhetsfunktionen : $Y$

p_{Y}(k)\equiv \mathbb {P} (Y=k)=-{\frac {1}{\ln(1-p))){\frac {p^{k)) {k}},\;k=1,2,3,\ldots

var . Då säger vi att den har en logaritmisk fördelning med parameter . Skriv: . $0<p<1$ $Y$ $sid$ $Y\sim \mathrm {Logg} (p)$

Fördelningsfunktionen för en slumpmässig variabel är styckvis konstant med hopp i naturliga punkter: $Y$

F_{Y}(y)=\left\{{\begin{matrix}0,&y<1&\\1+{\frac {\mathrm {B} _{p}(k+1,0) }{\ln(1-p)))),\;&y\i [k,k+1),\;&k=1,2,3,\ldots \end{matrix}}\right.,

var är den ofullständiga betafunktionen . $\mathrm {B} _{p}$

Notera

Att funktionen verkligen är en sannolikhetsfunktion av någon fördelning följer av Taylor-seriens expansion av logaritmen : $p_{Y}(k)$

\ln(1-p)=-\sum \limits _{k=1}^{\infty }{\frac {p^{k}}{k));0<p<1

var

\sum \limits _{k=1}^{\infty }p_{Y}(k)=1

Moments

Den genererande funktionen för momenten för en slumpvariabel ges av formeln $Y\sim \mathrm {Logg} (p)$

M_{Y}(t)={\frac {\ln \left[1-pe^{t}\right]}{\ln[1-p]}}

var

\mathbb {E} [Y]=-{\frac {1}{\ln(1-p))){\frac {p}{1-p))

\mathrm {D} [Y]=-p\;{\frac {p+\ln(1-p)}{(1-p)^{2}\,\ln ^{2}(1- p)}}

Relation med andra distributioner

Poissonsumman av oberoende logaritmiska slumpvariabler har en negativ binomialfördelning . Låta vara en sekvens av oberoende identiskt fördelade slumpvariabler så att . Låta vara en Poisson-slumpvariabel. Sedan ${\displaystyle \{X_{i}\}_{i=1}^{n))$ $X_{i}\sim \mathrm {Logg} (p),\;i=1,2,\ldots$ $N\sim \mathrm {P} (\lambda )$

Y=\sum \limits _{i=1}^{N}X_{i}\sim \mathrm {OBS}

Applikationer

Den logaritmiska fördelningen beskriver på ett tillfredsställande sätt storleksfördelningen av asteroider i solsystemet .

Sannolikhetsfördelningar
Diskret	Bernoulli Binom Geometrisk hypergeometrisk Logaritmisk Negativ binomial Poisson Diskret uniform Multinomial
Absolut kontinuerligt	Beta Weibulla Gamma- hyperexponentiell Gompertz Kolmogorov Cauchy Laplace lognormal Normal (Gaussian) Logistisk Nakagami Pareto Pearson halvcirkelformig kontinuerlig uniform Ris Rayleigh Studerande Tracey - Vidoma Fiskare Chi-kvadrat Exponentiell Varians-gamma Multivariat normal kopula