Weibull distribution

Den aktuella versionen av sidan har ännu inte granskats av erfarna bidragsgivare och kan skilja sig väsentligt från versionen som granskades den 3 oktober 2013; kontroller kräver 44 redigeringar .

Weibull distribution
Sannolikhetstäthet
distributionsfunktion
Beteckning	$\mathrm{W}(k,\lambda)$
alternativ	$\lambda >0$ - skalfaktor , - formfaktor $k>0$
Bärare	$x\in [0;+\infty )$
Sannolikhetstäthet	$(k/\lambda) (x/\lambda)^{(k-1)} e^{-(x/\lambda)^k}$
distributionsfunktion	$1-e^{-(x/\lambda)^k}$
Förväntat värde	$\lambda \Gamma \left(1+{\frac {1}{k))\right)$
Median	${\displaystyle \lambda \ln(2)^{1/k))$
Mode	$\frac{\lambda(k-1)^{\frac{1}{k))}{k^{\frac{1}{k))},$ för $k>1$
Dispersion	$\lambda ^{2}\Gamma \left(1+{\frac {2}{k}}\right)-\mu ^{2}$
Asymmetrikoefficient	$\frac{\Gamma(1+\frac{3}{k})\lambda^3-3\mu\Gamma(1+\frac{2}{k})\lambda^2+2\mu^3} {\sigma^3}$
Kurtos koefficient	${\frac {\lambda ^{4}\Gamma \left(1+{\frac 4k}\right)-4\lambda ^{3}\mu \Gamma \left(1+{\frac 3k}\right) +6\lambda ^{2}\mu ^{2}\Gamma \left(1+{\frac 2k}\right)-3\mu ^{4}}{\sigma ^{4}}}$
Differentialentropi	$\gamma\left(1\!-\!\frac{1}{k}\right)+\left(\frac{\lambda}{k}\right)^k +\ln\left(\frac{\ lambda}{k}\höger)$
Genererande funktion av moment	$\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {t^{n}\lambda ^{n}}{n!)}}\Gamma (1+n/k),\ k \ geq 1$
karakteristisk funktion	$\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(it)^{n}\lambda ^{n}}{n!}}\Gamma (1+n/k)$

Weibull-fördelningen i sannolikhetsteorin är en tvåparameterfamilj av absolut kontinuerliga fördelningar . Uppkallad efter Waloddy Weibull , som beskrev den i detalj 1951, även om den först definierades av Fréchet 1927, och den användes redan 1933 för att beskriva fördelningen av partikelstorlekar.

Definition

Låt fördelningen av en slumpvariabel ges av densiteten som har formen: $X$ $f_{X}(x)$

f_X(x) = \left\{ \begin{matrix} \frac{k}{\lambda} \left(\frac{x}{\lambda}\right)^{k-1} e^{-\left (\frac{x}{\lambda}\right)^k}, & x \ge 0 \\ 0, & x < 0 \end{matris} \right..

Sedan säger vi att den har en Weibull-fördelning. Skriv: . $X$ $X\sim \mathrm {W} (k,\lambda )$

Om värdet på X tas som tid till fel , erhålls en fördelning där felfrekvensen är proportionell mot tiden. Sedan:

k < 1 visar att felfrekvensen minskar med tiden
k = 1 visar att felfrekvensen inte ändras med tiden
k > 1 visar att felfrekvensen ökar med tiden

Inom materialvetenskap är koefficienten k känd som Weibull-modulen.

Egenskaper

Densitetsfunktion

Formen för Weibulls densitetsfunktion beror starkt på värdet av k . För 0 < k < 1, tenderar densiteten till oändligt och minskar strikt. För k = 1 tenderar densiteten till 1/λ som och minskar strikt. För k > 1 tenderar densiteten till 0 vid , ökar tills den når sitt läge och minskar efter. Det är intressant att notera att densiteten har en oändlig negativ lutning vid x = 0 för 0 < k < 1 , en oändlig positiv lutning vid x = 0 för 1 < k < 2, och en nolllutning vid x = 0 för k > 2. För k = 2 har densiteten en finit positiv lutning vid x = 0. Vid , konvergerar Weibull-fördelningen till en deltafunktion centrerad vid x = λ . Dessutom beror asymmetrikoefficienten och variationskoefficienten endast på formkoefficienten. $x\to 0+$ $x\to 0+$ $x\to 0+$ $k\to \infty$

Distributionsfunktion

Weibull distributionsfunktion:

F(x;k,\lambda )=1-e^{-(x/\lambda )^{k))

för x ≥ 0, och F(x; k; λ) = 0 för x < 0

Weibull distributionskvantil :

{\displaystyle Q(p;k,\lambda )=\lambda {(-\ln(1-p))}^{1/k))

för 0 ≤ p < 1.

Felfrekvens h :

h(x;k,\lambda )={k \over \lambda }\left({x \over \lambda}\right)^{k-1}.

Moments

Genererande funktion av momenten i logaritmen för en slumpvariabel med Weibull-fördelningen

\mathbb {E} \left[e^{t\log X}\right]=\lambda ^{t}\Gamma \left({\frac {t}{k))+1\right),

där Γ är gammafunktionen . På liknande sätt ges den karakteristiska funktionen för logaritmen av X av

\mathbb {E} \left[e^{it\log X}\right]=\lambda ^{it}\Gamma \left({\frac {it}{k))+1\right).

Momenten för en slumpvariabel med en Weibull-fördelning har formen $X$

\mathbb{E}\left[X^n\right] = \lambda^n \Gamma\left(1 + \frac{n}{k}\right)

, var är gammafunktionen ,

\Gamma

var

\mathbb{E}[X] = \lambda \Gamma\left(1 + \frac{1}{k}\right)

\mathrm{D}[X] = \lambda^2 \left[\Gamma\left(1 + \frac{2}{k}\right) - \Gamma^2\left(1 + \frac{1}{ k}\right)\right]

Asymmetrikoefficienten ges av funktionen

\gamma _{1}={\frac {\Gamma \left(1+{\frac {3}{k))\right)\lambda ^{3}-3\mu \sigma ^{2} -\mu ^{3}}{\sigma ^{3}}}

Kurtos koefficient

\gamma _{2}={\frac {-6\Gamma _{1}^{4}+12\Gamma _{1}^{2}\Gamma _{2}-3\Gamma _{ 2}^{2}-4\Gamma _{1}\Gamma _{3}+\Gamma _{4}}{[\Gamma _{2}-\Gamma _{1}^{2}]^{ 2}}},

där , kan också skrivas: $\Gamma _{i}=\Gamma (1+i/k)$

\gamma _{2}={\frac {\lambda ^{4}\Gamma (1+{\frac {4}{k)))-4\gamma _{1}\sigma ^{3} \mu -6\mu ^{2}\sigma ^{2}-\mu ^{4}}{\sigma ^{4}}}-3

Genererar funktion av moment

Det finns många uttryck för själva ögonblicksgenererande funktionen. $X$

\mathbb {E} \left[e^{tX}\right]=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {t^{n}\lambda ^{n}}{ n!}}\Gamma \left(1+{\frac {n}{k}}\höger).

Du kan också arbeta direkt med integralen

\mathbb {E} \left[e^{tX}\right]=\int _{0}^{\infty }e^{tx}{\frac {k}{\lambda }}\left( {\frac {x}{\lambda }}\right)^{k-1}e^{-(x/\lambda )^{k}}\,dx.

Om koefficienten k antas vara ett rationellt tal , uttryckt som k = p/q , där p och q är heltal, så kan integralen beräknas analytiskt. [1] Med t ersatt av -t får vi

\mathbb {E} \left[e^{-tX}\right]={\frac {1}{\lambda ^{k}\,t^{k))}\,{\frac {p ^{k}\,{\sqrt {q/p}}}{({\sqrt {2\pi }})^{q+p-2}}}\,G_{p,q}^{\, q,p}\!\left(\left.{\begin{matrix}{\frac {1-k}{p)),{\frac {2-k}{p)),\dots ,{\frac {pk}{p))\\{\frac {0}{q)),{\frac {1}{q)),\dots ,{\frac {q-1}{q))\end{matris }}\;\right|\,{\frac {p^{p}}{\left(q\,\lambda ^{k}\,t^{k}\right)^{q}}}\right ),

där G är Meyer G-funktionen.

Informationsentropi

Informationsentropin ges på detta sätt

H(\lambda ,k)=\gamma \left(1\!-\!{\frac {1}{k}}\right)+\ln \left({\frac {\lambda }{k }}\right)+1,

var är Euler-Mascheroni-konstanten . $\gamma$

Uppskattning av koefficienter

Maximal sannolikhet

Maximal sannolikhetsuppskattning för koefficient $\lambda$

{\hat {\lambda }}^{k}={\frac {1}{n}}\summa _{i=1}^{n}x_{i}^{k}

För $k$

{\hat {k}}^{-1}={\frac {\sum _{i=1}^{n}x_{i}^{k}\ln x_{i}}{\sum _{i=1}^{n}x_{i}^{k}}}-{\frac {1}{n}}\summa _{i=1}^{n}\ln x_{i}

Villkorlig Weibull-tillförlitlighetsfunktion

För en 2-parametrisk Weibull-fördelning har funktionen formen:

R(t|T)={\frac {R(T+t)}{R(T)))={\frac {e^{-\left({\frac {T+t}{\ lambda }}\right)^{k}}}{e^{-\left({\frac {T}{\lambda }}\right)^{k}}}}

eller

R(t|T)=e^{-\left[\left({\frac {T+t}{\lambda }}\right)^{k}-\left({\frac {T} {\lambda }}\right)^{k}\right]}

För 3-parametriska:

R(t|T)={\frac {R(T+t)}{R(T)))={\frac {e^{-\left({\frac {T+t-\theta }{\lambda }}\right)^{k}}}{e^{-\left({\frac {T-\theta }{\lambda }}\right)^{k}}}}

Det kallas villkorligt eftersom det visar sannolikheten att objektet kommer att fungera längre , förutsatt att det redan har fungerat . $t$ $T$

Weibull plot

Weibull-distributionsdata kan utvärderas visuellt med hjälp av en Weibull-plot [2] . Detta är ett diagram av QQ-typ av en provfördelningsfunktion med speciella axlar. Axar - och Anledningen till förändringen i variabler är att provet Weibull-fördelningsfunktionen kan representeras i linjär form $\ln(-\ln(1-{\hat {F))(x)))$ $\ln(x)$

{\begin{aligned}F(x)&=1-e^{-(x/\lambda )^{k))\\-\ln(1-F(x))&=(x/ \lambda )^{k}\\\underbrace {\ln(-\ln(1-F(x)))} _{\textrm {'y'}}&=\underbrace {k\ln x} _{ \textrm {'mx'}}-\underbrace {k\ln \lambda } _{\textrm {'c'}}\end{aligned}}

Därför, om data är från en Weibull-distribution, kan en rät linje förväntas på Weibull-diagrammet.

Det finns många sätt att få provfördelningsfunktionen från data: en metod är att få den vertikala koordinaten för varje punkt med hjälp av , där är rankningen av datapunkten och är det totala antalet punkter. [3] ${\hat {F}}={\frac {i-0.3}{n+0.4}}$ $i$ $n$

Användning

Weibull-fördelningen används:

I överlevnadsanalysen
I Tillförlitlighet och felanalys
Inom elektroteknik , för att representera överspänning som förekommer i elektriska kretsar
Inom industriteknik
I extremvärdesteori

I väderprognoser
- Att beskriva fördelningen av vindhastighet som en fördelning som vanligtvis sammanfaller med Weibull-fördelningen i vindkraft
I radarsystem för modellering av spridningen av den mottagna signalnivån skapad av vissa typer av klutter
Vid modellering av signalfading i trådlös kommunikation
I att förutsäga tekniska förändringar
Inom hydrologi är Weibull-fördelningen tillämplig på extrema händelser som den årliga nederbörden på en dag eller översvämningen av en flod. Figuren visar en sådan matchning, samt ett 90 % konfidensintervall baserat på binomialfördelningen .
I beskrivningen av storleken på partiklar som erhålls genom krossning, malning eller krossning
På grund av tillgänglighet som används i kalkylblad , när det underliggande beteendet faktiskt bättre beskrivs av Erlang-distributionen

Relation med andra distributioner

Den vanliga Weibull-fördelningen, genom förändring av variabel, reduceras till gammafördelningen .
3-parameter Weibull-fördelning. Har densitetsfunktion

f(x;k,\lambda ,\theta )={k \over \lambda }\left({x-\theta \over \lambda}\right)^{k-1}e^{-( {x-\theta \over \lambda })^{k}}

där och f ( x ; k , λ, θ) = 0 för x < θ, där är formfaktorn, är skalfaktorn och är fördelningsförskjutningsfaktorn . När θ=0 reduceras den till en Weibull-fördelning med 2 parametrar. $x\geq \theta$ $k>0$ $\lambda >0$ $\theta$

1-parameter Weibull-fördelning. Det härleds under antagande och : $\theta=0$ $k=C=Konstant$

f(t)={\frac {C}{\lambda }}\left({\frac {t}{\lambda}}\right)^{C-1}e^{-\left({ \frac {t}{\lambda }}\right)^{C}}

Weibull-fördelningen kan erhållas som en funktion av exponentialen .

Om är en exponentiell fördelning för parametern , så har den slumpmässiga variabeln Weibull-fördelningen . För bevis, överväg distributionsfunktionen : $X$ $\operatörsnamn {Exp} (\lambda )$ $\lambda$ $Y=X^{1/k}~(k>0)$ $\operatörsnamn {W} (\lambda ^{1/k},k)$ $Y$

$F_{Y}(y)=P(Y\leq y)=P(X^{1/k}\leq y)=P(X\leq y^{k})=1-e^{ -\lambda \cdot y^{k}}=1-e^{-(\lambda ^{1/k}\cdot y)^{k}},~y>0$

Den resulterande funktionen är distributionsfunktionen för Weibull-fördelningen.

Invers transformationsmetod : om , då $U\sim \mathrm {U} (0,1)$

\lambda \left(-\ln U\right)^{1/k} \sim \mathrm{W}(k,\lambda)

Med Fréchet-distribution: om , då . $\mathrm {X} \sim {\textrm {Weibull}}(k=\alpha ,\lambda =m)$ ${\tfrac {m^{2}}{\mathrm {X} }}\sim {\textrm {Frecket}}(\alpha ,s,m)$
Med Gumbel-fördelningen: om , då . $\mathrm {X} \sim {\textrm {Weibull}}$ $\log(X)\sim {\textrm {Gumbel))$
Rayleigh-distributionen är ett specialfall av Weibull-distributionen för och [4] $k=2$ $\lambda ={\sqrt {2}}\sigma$
Weibull-fördelningen är ett specialfall av den generaliserade fördelningen av extrema värden [5]
För första gången användes Weibull-fördelningen för att beskriva partikelstorleksfördelningen. Det har använts i stor utsträckning vid mineralbearbetning under malning . I detta sammanhang

fördelningsfunktionen har formen

f(x;P_{\rm {80}},m)={\begin{cases}1-e^{ln\left(0.2\right)\left({\frac {x}{P_{ \rm {80}}}}\right)^{m}}&x\geq 0,\\0&x<0,\end{case}}

var

x

: Partikelstorlek

P_{\rm {80}}

: 80:e percentilen av partikelstorleksfördelning

m

: Koefficient som beskriver fördelningens omfång

Anteckningar

↑ Se ( Cheng, Tellambura & Beaulieu 2004 ) för heltals k -fallet och ( Sagias & Karagiannidis 2005 ) för det rationella fallet.
↑ Weibull tomt . Datum för åtkomst: 20 september 2015. Arkiverad från originalet den 25 mars 2008. (obestämd)
↑ Wayne Nelson (2004) Applied Life Data Analysis . Wiley-Blackwell ISBN 0-471-64462-5
↑ Rayleigh Distribution - MATLAB & Simulink - MathWorks Australien . Hämtad 21 september 2015. Arkiverad från originalet 12 oktober 2014. (obestämd)
↑ Meteorologisk världsorganisation. Guide till hydrologisk praxis. - 6. - Schweiz, 2012. - V. 2. - S. 165. - ISBN 978-92-63-40168-7 ..

Litteratur

Fréchet, Maurice (1927), Sur la loi de probabilité de l'écart maximum, Annales de la Société Polonaise de Mathematique, Cracovie T. 6: 93–116 .
Johnson, Norman L.; Kotz, Samuel & Balakrishnan, N. (1994), Continuous univariate distributions. Vol. 1 (2nd ed.), Wiley Series in Probability and Mathematical Statistics: Applied Probability and Statistics, New York: John Wiley & Sons , ISBN 978-0-471-58495-7
Muraleedharan, G.; Rao, AD; Kurup, PG & Nair, N. Unnikrishnan (2007), Modified Weibull Distribution for Maximum and Significant Wave Height Simulation and Prediction , Coastal Engineering vol. 54(8): 630–638 , doi 10.1016/j.coastaleng.2007.05.001
Muraleedharan, G. & Soares, CG (2014), Characteristic and Moment Generating Functions of Generalized Pareto (GP3) och Weibull Distributions , Journal of Scientific Research and Reports vol 3 (14): 1861–1874 , DOI 10.9734/JSRR/200 /10087 .
Rosin, P. & Rammler, E. (1933), The Laws Governing the Fineness of Powdered Coal, Journal of the Institute of Fuel vol 7: 29–36 .
Sagias, Nikos C. & Karagiannidis, George K. (2005), Gaussisk klass multivariat Weibull-distributioner: teori och tillämpningar i blekningskanaler , Institutet för elektriska och elektroniska ingenjörer. Transactions on Information Theory vol. 51 (10): 3608–3619, ISSN 0018-9448 , doi : 10.1109/TIT.2005.855598 , < http://pelopas.uop.gr/~nsagias/Files/Papers/Journals/ J4_2005.pdf > (inte tillgänglig länk)
Weibull, W. (1951), A statistical distribution function of wide applicability , J. Appl. Mech.-Trans. ASME T. 18(3): 293–297 , < http://www.barringer1.com/wa_files/Weibull-ASME-Paper-1951.pdf > .
Teknisk statistik handbok . National Institute of Standards and Technology (2008). (obestämd)
Nelson, Jr., Ralph Dispersing Powders in Liquids, Del 1, Kap 6: Partikelvolymfördelning (5 februari 2008). Hämtad 5 februari 2008. Arkiverad från originalet 13 februari 2008. (obestämd)
Levin B.R. Tillförlitlighetshandbok. — Handbok om tillförlitlighet / Ed. Levina B.R., i 3 volymer, V.1. M.: Mir, 1969, 339 s. - M.: Mir, 1969. - S. 176. - 339 s.
J. Cheng, C. Tellambura och N. C. Beaulieu Prestandaanalys av digitala moduleringar på Weibull-fadingkanaler / Proc. IEEE Veh. Technol. Konf. 2004.

Länkar

Weibull Distribution Function Plot Exempel
Weibull distribution
Weibull tomt
Plotta Weibull-distributionen i excel (ryska)

Sannolikhetsfördelningar
Diskret	Bernoulli Binom Geometrisk hypergeometrisk Logaritmisk Negativ binomial Poisson Diskret uniform Multinomial
Absolut kontinuerligt	Beta Weibulla Gamma- hyperexponentiell Gompertz Kolmogorov Cauchy Laplace lognormal Normal (Gaussian) Logistisk Nakagami Pareto Pearson halvcirkelformig kontinuerlig uniform Ris Rayleigh Studerande Tracey - Vidoma Fiskare Chi-kvadrat Exponentiell Varians-gamma Multivariat normal kopula