Betadistribution

Betadistribution
Sannolikhetstäthet
distributionsfunktion
Beteckning	${\text{Beta}}(\alpha ,\beta )$
alternativ	$\alfa >0$ $\beta>0$
Bärare	$x\in [0,1]$
Sannolikhetstäthet	${\frac {x^{\alpha -1}(1-x)^{\beta -1}}{\mathrm {B} (\alpha ,\beta )))$
distributionsfunktion	$I_{x}(\alpha ,\beta )$
Förväntat värde	${\frac {\alpha }{\alpha +\beta }}$
Mode	${\frac {\alpha -1}{\alpha +\beta -2))$ för $\alfa >1,\beta >1$
Dispersion	${\frac {\alpha \beta }{(\alpha +\beta )^{2}(\alpha +\beta +1)))$
Asymmetrikoefficient	${\frac {2\,(\beta -\alpha ){\sqrt {\alpha +\beta +1))}{(\alpha +\beta +2){\sqrt {\alpha \beta ))))$
Kurtos koefficient	$6\,{\frac {\alpha ^{3}-\alpha ^{2}(2\beta -1)+\beta ^{2}(\beta +1)-2\alpha \beta ( \beta +2)}{\alpha \beta (\alpha +\beta +2)(\alpha +\beta +3)))$
Genererande funktion av moment	$1+\summa _{k=1}^{\infty }\left(\prod _{r=0}^{k-1}{\frac {\alpha +r}{\alpha +\beta +r} }\right){\frac {t^{k}}{k!)}}$
karakteristisk funktion	${}_{1}F_{1}(\alpha ;\alpha +\beta ;i\,t)$

Betafördelningen i sannolikhetsteori och statistik är en tvåparameterfamilj av absolut kontinuerliga fördelningar . Används för att beskriva slumpvariabler vars värden är begränsade till ett ändligt intervall.

Definition

f_{X}(x)={\frac {1}{\mathrm {B} (\alpha ,\beta )))\,x^{\alpha -1}(1-x)^{\beta -1 }

var

$\alfa ,\beta >0$ godtyckliga fasta parametrar, och
$\mathrm {B} (\alpha ,\beta )=\int \limits _{0}^{1}x^{\alpha -1}(1-x)^{\beta -1}\,dx$ är betafunktionen .

Då har den slumpmässiga variabeln en betafördelning. Skriv: . $X$ $X\!\sim \mathrm {B} (\alpha ,\beta )$

Formen på betafördelningens sannolikhetsdensitetsgraf beror på valet av parametrar och . $\alfa$ $\beta$

$\alfa<1,\ \beta<1$ — grafen är konvex och går till oändlighet vid gränserna (röd kurva);
$\alpha <1,\ \beta \geq 1$ eller - grafen är strikt minskande (blå kurva) $\alpha =1,\ \beta >1$
- $\alpha =1,\ \beta >2$ - grafen är strikt konvex;
- $\alfa =1,\ \beta =2$ — grafen är en rät linje;
- $\alpha =1,\ 1<\beta <2$ - grafen är strikt konkav ;
$\alfa =1,\ \beta =1$ plotten matchar densitetsdiagrammet för den kontinuerliga standardfördelningen ;
$\alfa =1,\ \beta<1$ eller — strikt ökande graf (grön kurva); $\alpha >1,\ \beta \leq 1$
- $\alfa >2,\ \beta =1$ - grafen är strikt konvex;
- $\alfa =2,\ \beta =1$ — grafen är en rät linje;
- $1<\alfa <2,\ \beta =1$ — grafen är strikt konkav;
$\alfa >1,\ \beta >1$ — unimodal graf (magenta och svarta kurvor)

I fallet när , är sannolikhetstätheten symmetrisk med avseende på (röda och magenta kurvor), dvs. $\alfa=\beta$ $1/2$

f_{X}(1/2-x)=f_{X}(1/2+x),\;x\in [0,1/2]

Den matematiska förväntan och variansen för en slumpvariabel med en betafördelning är: $X$

\mathbb {E} [X]={\frac {\alpha }{\alpha +\beta ))

\mathrm {D} [X]={\frac {\alpha \beta }{(\alpha +\beta )^{2}(\alpha +\beta +1)))

Betafördelningen är en Pearson-fördelning av typ I [1] .
Den kontinuerliga enhetliga standardfördelningen är ett specialfall av betafördelningen: $\mathrm {U} [0,1]\equiv \mathrm {B} (1,1)$ .
Betafördelningen används flitigt i Bayesiansk statistik , eftersom det är den konjugata prioriteten av Bernoulli- , binomial- och geometriska distributioner.
If är oberoende gammafördelade slumpvariabler, och , och , då $X,Y$ $X\sim \mathrm {\Gamma } (\alpha ,1)$ $Y\sim \mathrm {\Gamma } (\beta ,1)$ ${\frac {X}{X+Y}}\sim \mathrm {B} (\alpha ,\beta )$ .

Korolyuk V.S. , Portenko N.I. , Skorokhod A.V. , Turbin A.F. Handbok i sannolikhetslära och matematisk statistik. - M. : Nauka, 1985. - 640 sid.

Sannolikhetsfördelningar
Diskret	Bernoulli Binom Geometrisk hypergeometrisk Logaritmisk Negativ binomial Poisson Diskret uniform Multinomial
Absolut kontinuerligt	Beta Weibulla Gamma- hyperexponentiell Gompertz Kolmogorov Cauchy Laplace lognormal Normal (Gaussian) Logistisk Nakagami Pareto Pearson halvcirkelformig kontinuerlig uniform Ris Rayleigh Studerande Tracey - Vidoma Fiskare Chi-kvadrat Exponentiell Varians-gamma Multivariat normal kopula