Pareto distribution

Pareto distribution
$x_{\text{m}}=1$ Sannolikhetstäthet
$x_{\text{m}}=1$ distributionsfunktion
Beteckning	$P(k,x_{\text{m)))$
alternativ	$x_{\text{m}}>0$ - skalfaktor $k>0$
Bärare	$x\in [x_{\text{m));+\infty )$
Sannolikhetstäthet	${\frac {k\,x_{\text{m}}^{k}}{x^{k+1}}}$
distributionsfunktion	$1-\left({\frac {x_{\text{m}}}{x}}\right)^{k}$
Förväntat värde	${\frac {kx_{\text{m}}}{k-1}}$ , om $k>1$
Median	$x_{\text{m}}{\sqrt[{k}]{2}}$
Mode	$x_{\text{m))$
Dispersion	$\left({\frac {x_{\text{m}}}{k-1}}\right)^{2}{\frac {k}{k-2}}$ på $k>2$
Asymmetrikoefficient	${\displaystyle {\frac {2(1+k)}{k-3))\,{\sqrt {\frac {k-2}{k))))$ på $k>3$
Kurtos koefficient	${\frac {6(k^{3}+k^{2}-6k-2)}{k(k-3)(k-4)))$ på $k>4$
Differentialentropi	$\ln \left({\frac {k}{x_{\text{m))))\right)-{\frac {1}{k}}-1$
Genererande funktion av moment	inte bestämd
karakteristisk funktion	$k{\big (}\Gamma (-k){\big [}x_{\text{m}}^{k}(-it)^{k}-(-ix_{\text{m} }t)^{k}{\big ]}+{}$ ${\displaystyle {}+E_{\text{k+1}}(-ix_{\text{m}}t){\big )))$

Paretofördelningen i sannolikhetsteorin är en tvåparameterfamilj av absolut kontinuerliga fördelningar som är maktlag. Den kallas vid namn Wilfredo Pareto . Förekommer i studien av olika fenomen, i synnerhet sociala, ekonomiska och fysiska [1] . Utanför ekonomiområdet kallas det ibland även Bradford-distributionen.

Definition

Låt en stokastisk variabel vara sådan att dess fördelning ges av likheten $X$

F_{X}(x)=P(X<x)=1-\vänster({\frac {x_{\text{m}}}{x}}\höger)^{k},\ \ forall x\geqslant x_{\text{m)),

var . Då säger vi att den har en Pareto-fördelning med parametrar och . Pareto-fördelningens täthet har formen $x_{\text{m)),k>0$ $X$ $x_{\text{m))$ $k$

f_{X}(x)={\begin{cases}{\dfrac {kx_{m}^{k}}{x^{k+1}}},&x\geqslant x_{m},\ \[1ex]0,&x<x_{m}.\end{cases}}

Moments

Momenten för en slumpvariabel , som har en Pareto-fördelning, ges av formeln

\mathbb {E} \left[X^{n}\right]={\frac {kx_{m}^{n}}{kn}},

varifrån särskilt

\mathbb {E} [X]={\frac {kx_{m}}{k-1)),

\mathrm {D} [X]=\left({\frac {x_{m}}{k-1}}\right)^{2}{\frac {k}{k-2}}.

Applikationer

Vilfredo Pareto använde ursprungligen denna fördelning för att beskriva fördelningen av välstånd samt inkomstfördelningen [2] . Hans "20 till 80 regel" (som säger: 20% av befolkningen äger 80% av förmögenheten) beror dock på det specifika värdet av , och det hävdas att det faktiskt finns betydande kvantitativa avvikelser, till exempel Paretos data om Storbritannien i sitt arbete "The Course of Political Economy" sägs att där äger cirka 30% av befolkningen 70% av den totala inkomsten. $k$

Pareto-fördelningen finns inte bara inom ekonomi. Följande exempel kan ges:

Inom lingvistik är Pareto-fördelningen känd som Zipfs lag (för olika språk kan exponenten variera något, det finns också en liten avvikelse från en enkel potenslag för de vanligaste orden, men generellt sett beskriver maktlagen denna fördelning ganska väl). Särskilda manifestationer av detta mönster kan övervägas:
- Beroendet av den absoluta frekvensen av ord (hur många gånger varje särskilt ord förekom) i en tillräckligt lång text på rangen (serienummer vid ordning av ord efter absolut frekvens). Kraftkaraktären finns kvar oavsett om orden reduceras till ursprungsformen eller tas från texten som de är.
- En liknande kurva för namnens popularitet.
Fördelning av bosättningarnas storlek [3] .

Se även

Anteckningar

↑ Guerriero, V. Power Law Distribution: Metod för multi-scale inferential statistik // Journal of Modern Mathematics Frontier ( JMMF). - 2012. - Vol. 1 , nej. 1 . - S. 21-28 . Arkiverad från originalet den 5 december 2013.
↑ Pareto, Vilfredo, Cours d'Économie Politique: Nouvelle édition par G.-H. Bousquet et G. Busino , Librairie Droz, Genève, 1964, sid 299-345.
↑ Reed, WJ , Jorgensen, M. Den dubbla Pareto-Lognormal Distribution - En ny parametrisk modell för storleksfördelningar // Kommunikationer i statistik: Teori och metoder. - 2004. - Vol. 33 , iss. 8 . - P. 1733-1753 . - doi : 10.1081/STA-120037438 .

Litteratur

Artyukhov VV Effektivitet // Allmän systemteori: självorganisering, stabilitet, mångfald, kriser. - M . : Bokhuset "LIBROKOM", 2009. - S. 60-68. — 224 sid. - ISBN 978-5-397-00855-6 .

Sannolikhetsfördelningar
Diskret	Bernoulli Binom Geometrisk hypergeometrisk Logaritmisk Negativ binomial Poisson Diskret uniform Multinomial
Absolut kontinuerligt	Beta Weibulla Gamma- hyperexponentiell Gompertz Kolmogorov Cauchy Laplace lognormal Normal (Gaussian) Logistisk Nakagami Pareto Pearson halvcirkelformig kontinuerlig uniform Ris Rayleigh Studerande Tracey - Vidoma Fiskare Chi-kvadrat Exponentiell Varians-gamma Multivariat normal kopula