Genererande funktion av moment

Momentens genererande funktion är ett sätt att specificera sannolikhetsfördelningar . Används oftast för att beräkna moment .

Definition

Låt det finnas en slumpvariabel med distribution . Då är dess genererande funktion av moment en funktion som har formen: $X$ $\mathbb {P} ^{X}$

M_{X}(t)=\mathbb {E} \left[e^{tX}\right]

Med hjälp av formlerna för att beräkna den matematiska förväntan kan definitionen av momentens genererande funktion skrivas om som:

M_{X}(t)=\int \limits _{-\infty }^{\infty }e^{tx}\,\mathbb {P} ^{X}(dx)

det vill säga momentens genererande funktion är den tvåsidiga Laplace-transformen av distributionstätheten för en slumpvariabel (upp till reflektion).

Diskreta och absolut kontinuerliga slumpvariabler

Om den slumpmässiga variabeln är diskret , det vill säga då $X$ $\mathbb {P} (X=x_{i})=p_{i},\;i=1,2,\ldots$

M_{X}(t)=\sum _{i=1}^{\infty }e^{tx_{i}}\,p_{i}

Exempel. Let har en Bernoulli-distribution . Sedan $X$

M_{X}(t)=e^{t\cdot 1}\cdot p+e^{t\cdot 0}\cdot q=pe^{t}+q

Om den slumpmässiga variabeln är absolut kontinuerlig , det vill säga den har en densitet , då $X$ $f_{X}(x)$

M_{X}(t)=\int \limits _{-\infty }^{\infty }e^{tx}\,f_{X}(x)\,dx

Exempel. Let har en standard kontinuerlig enhetlig fördelning . Sedan $X\simU[0,1]$

M_{X}(t)=\int \limits _{0}^{1}e^{tx}\cdot 1\,dx=\left.{\frac {e^{tx}}{t }}\right\vert _{0}^{1}={\frac {e^{t}-1}{t}}

Egenskaper för momentgenererande funktioner

De momentgenererande funktionernas egenskaper liknar i många avseenden egenskaperna hos de karakteristiska funktionerna på grund av likheten mellan deras definitioner.

Den momentgenererande funktionen bestämmer unikt fördelningen. Låta vara två slumpvariabler, och . Sedan . I synnerhet, om båda kvantiteterna är absolut kontinuerliga , innebär sammanträffandet av momentens genererande funktioner sammanfallande av tätheterna. Om båda slumpvariablerna är diskreta , innebär sammanträffandet av momentens genererande funktioner sammanfallandet av sannolikhetsfunktionerna. $X,Y$ $M_{X}(t)=M_{Y}(t),\;\forall t$ $\mathbb {P} ^{X}=\mathbb {P} ^{Y}$
Den genererande funktionen av moment som funktion av en slumpvariabel är homogen:

M_{aX}(t)=M_{X}(at),\;\forall a\in \mathbb {R}

Den genererande funktionen för momenten av summan av oberoende slumpvariabler är lika med produkten av deras genererande funktioner av momenten. Låt det finnas oberoende slumpvariabler. Låt oss beteckna . Sedan $X_{1},\ldots ,X_{n}$ $S_{n}=\summa \limits _{i=1}^{n}X_{i}$

M_{S_{n}}(t)=\prod \limits _{i=1}^{n}M_{X_{i}}(t)

Beräkning av moment

\mathbb {E} \left[X^{n}\right]=\left.{\frac {d^{n}}{dt^{n}}}M_{X}(t)\right \vert _{t=0}

Genererande funktion av moment

Definition

Diskreta och absolut kontinuerliga slumpvariabler

Egenskaper för momentgenererande funktioner

Beräkning av moment

Se även