Oändligt delbar fördelning

Den aktuella versionen av sidan har ännu inte granskats av erfarna bidragsgivare och kan skilja sig väsentligt från versionen som granskades den 24 oktober 2018; kontroller kräver 6 redigeringar .

En oändligt delbar fördelning i sannolikhetsteorin är en fördelning av en slumpvariabel så att den kan representeras som ett godtyckligt antal oberoende, jämnt fördelade termer.

Definition

En slumpvariabel sägs vara oändligt delbar om den för någon kan representeras i formen $Y$ $n\in \mathbb {N}$

{\displaystyle Y=\sum \limits _{i=1}^{n}X_{i}^{(n)))

där är oberoende , identiskt fördelade slumpvariabler. ${\displaystyle \left\{X_{i}^{(n)}\right\}_{i=1}^{n))$

Egenskaper för oändligt delbara distributioner

Den karakteristiska funktionen för en oändligt delbar slumpvariabel har formen: $\phi _{Y}(t)$ $Y$

$\phi _{Y}(t)=\phi _{X^{(n)}}^{n}(t)$ .

Den karakteristiska funktionen av en oändligt delbar fördelning försvinner inte.
Fördelningsfunktionen för summan av oberoende stokastiska variabler som har oändligt delbara fördelningsfunktioner är också oändligt delbar.
En fördelningsfunktion som är begränsande för en sekvens av oändligt delbara fördelningsfunktioner är oändligt delbar.

Kanoniska representationer av oändligt delbara distributioner

Kolmogorovs teorem

För att en fördelningsfunktion med ändlig varians ska vara oändligt delbar är det nödvändigt och tillräckligt att logaritmen för dess karakteristiska funktion har formen: $\Phi (x)$ $\phi (t)$

\ln \phi (t)=i\gamma t+\int \limits _{-\infty }^{\infty }{\frac {e^{itx}-1-itx}{x^{2} }}dG(x)

där är en reell konstant och är en icke-minskande funktion av begränsad variation, förstås integralen i Lebesgue-Stieltjes- bemärkelsen . $\gamma$ $G(x)$

Levy-Khinchin formel

Låta vara den karakteristiska funktionen av en oändligt delbar fördelning på . Sedan finns det en icke-minskande funktion av begränsad variation så att $\phi (t)$ $\mathbb {R}$ $G:\mathbb {R} \to \mathbb {R}$

\ln \phi (t)=i\delta t+\int \limits _{-\infty }^{\infty }\left(e^{itu}-1-{\frac {itu}{1+ u^{2}}}\right)\left({\frac {1+u^{2}}{u^{2}}}\right)dG(u)

Exempel

Följande fördelningar är oändligt delbara: Cauchyfördelning , Poissonfördelning , normalfördelning , gammafördelning .

Låt ett sannolikhetsutrymme ges , där $(\mathbb {N} ,2^{\mathbb {N} },m)$

m(n)={\frac {\lambda ^{n}}{n!}}e^{-\lambda }

för vissa . Sedan en slumpvariabel med formen $\lambda>0$ $X:\mathbb {N} \to \mathbb {R}$

X(n)=n,\quad n\in \mathbb {N}

är inte oändligt delbar.

Oändligt delbar distribution på lokalt kompakta Abeliska grupper

En fördelning på en lokalt kompakt Abelisk grupp sägs vara oändligt delbar om det för varje naturligt finns ett element och en fördelning på sådan att , där är en degenererad fördelning koncentrerad till (se [1] , [2] ). $\mu$ $X$ $n$ $x_{n}\in X$ $\mu _{n}$ $X$ $\mu =\mu _{n}^{*n}*E_{x_{n))$ $E_{x_{n))$ $x_{n}$

Exempel på oändligt delbara fördelningar på lokalt kompakta Abelia-grupper är degenererade distributioner, förskjutningar av Haar-fördelningar av kompakta undergrupper, generaliserade Poisson-fördelningar .

Se även

Stabil distribution .

Litteratur

B.V. Gnedenko Course of Probability Theory, Moskva, Nauka, 1965, 400 s.

Anteckningar

↑ K. R. Parthasarathy, R. Ranga Rao, S. R. S. Varadhan, "Probability distributions on locally compact Abelian groups", Mathematics , 9 : 2 (1965), ( Parthasarathy, KR ; Rao, RR ; Varadhan, SRS Arkiverad 26 augusti 2020 Maskinsannolikhetsfördelningar på lokalt kompakta Abelian-grupper Ill. J. Math 7, 337-369 (1963) Arkiverad 26 augusti 2020 på Wayback Machine )
↑ Parthasarathy KR Sannolikhetsmått på metriska utrymmen. Probab. Matematik. statistik. - 3. - New York - London: Academic Press, 1967.