Lebesgue integral

Den aktuella versionen av sidan har ännu inte granskats av erfarna bidragsgivare och kan skilja sig väsentligt från versionen som granskades den 31 oktober 2020; kontroller kräver 2 redigeringar .

Lebesgue-integralen är en generalisering av Riemann-integralen till en bredare klass av funktioner .

Alla funktioner definierade på ett ändligt segment av den reella linjen och Riemann-integrerbara är också Lebesgue-integrerbara, och i detta fall är båda integralerna lika. Det finns dock en stor klass av funktioner definierade på ett intervall och Lebesgue-integrerbara men inte Riemann-integrerbara. Även Lebesgue-integralen kan vara meningsfull för funktioner som ges på godtyckliga mängder ( Fréchet-integralen ).

Tanken med att konstruera Lebesgue-integralen [1] är att istället för att dela upp definitionsdomänen för integranden i delar och sedan sammanställa integralsumman från värdena för funktionen på dessa delar, dess värdeomfång är uppdelad i intervall , och sedan summeras måtten på förbilderna av dessa intervall med motsvarande vikter.

Definition

Lebesgue-integralen bestäms steg för steg, från enklare till komplexa funktioner. Vi antar att vi får ett mellanslag med ett mått , och en mätbar funktion definieras på det , där är en Borel -algebra på den reella axeln. $(X,\mathcal{F},\mu)$ $f\colon (X,{\mathcal {F}})\to (\mathbb {R} ,{\mathcal {B}}(\mathbb {R} ))$ ${\mathcal {B}}(\mathbb {R} )$ $\sigma$

Definition 1. Låta vara en indikator på någon mätbar uppsättning, d.v.s. där . Sedan Lebesgue-integralen av funktionen per definition: $f$ $f(x)={\mathbf {1}}_{A}(x)$ $A\in {\mathcal {F}}$ $f$

\int \limits _{X}f(x)\,\mu (dx)\equiv \int \limits _{X}f\,d\mu =\mu (A).

Definition 2. Låta vara en enkel funktion , Dvs där , och vara en ändlig partition i mätbara mängder. Sedan $f$ $f(x)=\summa \limits _{{i=1}}^{n}f_{i}\,{\mathbf {1}}_{{F_{i}}}(x)$ $\{f_{i}\}_{{i=1}}^{n}\subset {\mathbb {R}}$ $\{F_{i}\}_{{i=1}}^{n}\subset {\mathcal {F}}$ $X$

\int \limits _{X}f(x)\,\mu (dx)=\sum \limits _{{i=1}}^{n}f_{i}\,\mu (F_{i})

Definition 3. Låt nu vara en icke-negativ funktion, dvs. Tänk på alla enkla funktioner som . Låt oss kalla den här familjen . För varje funktion från denna familj är Lebesgue-integralen redan definierad. Då ges integralen av av formeln: $f$ $f(x)\geqslant 0\;\forall x\in X$ $\{f_{s}\}$ $f_{s}(x)\leqslant f(x)\;\forall x\in X$ ${\mathcal {P}}_{f}$ $f$

\int \limits _{X}f(x)\,\mu (dx)=\sup \left\{\int \limits _{X}f_{s}(x)\,\mu (dx)\; \vert \;f_{s}\in {\mathcal {P}}_{f}\right\}

Slutligen, om funktionen har ett godtyckligt tecken, kan den representeras som skillnaden mellan två icke-negativa funktioner. Det är faktiskt lätt att se att: $f$

f(x)=f^{+}(x)-f^{-}(x),

var

f^{+}(x)=\max(f(x),0),\;f^{-}(x)=-\min(0,f(x))

Definition 4. Låta vara en godtycklig mätbar funktion. Sedan ges dess integral av formeln: $f$

\int \limits _{X}f(x)\,\mu (dx)=\int \limits _{X}f^{+}(x)\,\mu (dx)-\int \limits _{ X}f^{-}(x)\,\mu (dx)

Definition 5. Låt slutligen vara en godtycklig mätbar uppsättning. Då per definition $A\in {\mathcal {F}}$

\int \limits _{A}f(x)\,\mu (dx)=\int \limits _{X}f(x)\,{\mathbf {1}}_{A}(x)\, \mu (dx)

var är enhetens indikatorfunktion . ${\mathbf {1}}_{A}(x)$ $A$

Exempel

Betrakta en Dirichlet-funktion definierad på , där är Borel σ-algebra på , och är Lebesgue-måttet . Denna funktion tar värden på rationella punkter och vid irrationella . Det är lätt att se att det inte är integrerat i Riemanns mening. Det är dock en enkel funktion på ett utrymme med ett ändligt mått, eftersom det bara tar två värden, och därför är dess Lebesgue-integral definierad och lika med: $f(x)\equiv \chi _{{{\mathbb {Q}}_{{[0,1]}}}}(x)$ $([0,1],{\mathcal {B}}([0,1]),m)$ ${\mathcal {B}}([0,1])$ $[0,1]$ $m$ $ett$ $0$ $f$

\int \limits _{{[0,1]}}f(x)\,m(dx)=1\cdot m({\mathbb {Q}}_{{[0,1]}})+0 \cdot m([0,1]\setminus {\mathbb {Q}}_{{[0,1]}})=1\cdot 0+0\cdot 1=0.

Faktum är att måttet på segmentet är lika med 1, och eftersom uppsättningen av rationella tal kan räknas , är dess mått lika med 0, vilket betyder att måttet på irrationella tal är lika med . $[0,1]$ $1-0=1$

Anteckningar

Eftersom , är en mätbar funktion Lebesgue-integrerbar om och endast om funktionen är Lebesgue-integrerbar. Denna egenskap gäller inte för Riemann-integralen; $|f(x)|=f^{+}(x)+f^{-}(x)$ $f(x)$ $|f(x)|$
Beroende på val av utrymme, mått och funktion kan integralen vara ändlig eller oändlig. Om funktionens integral är finit, sägs funktionen vara Lebesgue-integrerbar eller summerbar ;
Om en funktion är definierad på ett sannolikhetsutrymme och är mätbar, kallas den en slumpvariabel och dess integral kallas den matematiska förväntan eller medelvärde. En slumpvariabel är integrerbar om den har en ändlig matematisk förväntan. $(\Omega ,{\mathcal {F}),\mathbb {P} )$

Egenskaper

Lebesgue-integralen är linjär, det vill säga $\int \limits _{X}[af(x)+bg(x)]\,\mu (dx)=a\int \limits _{X}f(x)\,\mu (dx)+b\ int \limits _{X}g(x)\,\mu (dx)$ ,

där är godtyckliga konstanter;

a,b\in \mathbb{R}

Lebesgue-integralen bevarar ojämlikheter, det vill säga om , är mätbar och integrerbar nästan överallt , då integrerbar och , och dessutom $0\leqslant f(x)\leqslant g(x)$ $f(x)$ $g(x)$ $f(x)$ $0\leqslant \int \limits _{X}f(x)\,\mu (dx)\leqslant \int \limits _{X}g(x)\,\mu (dx)$ ;
Lebesgue-integralen beror inte på beteendet hos funktionen på en uppsättning av mått noll, det vill säga om nästan överallt , då $f(x)=g(x)$ $\int \limits _{X}f(x)\,\mu (dx)=\int \limits _{X}g(x)\,\mu (dx)$ .

Lebesgue integral summor

Lebesgue-integralsummor för en funktion och ett mått är summor av formen $f(x)$ $\mu$

S=\sum _{k=1}^{N}y_{k}\cdot \mu \{x\in X:y_{k}<f(x)\leqslant y_{k+1}\ }

var är en partition av funktionens värdeintervall . ${\displaystyle y_{1}<y_{2}<\dots <y_{N))$ $f(x)$

Varje sådan summa är Lebesgue-integralen av en enkel funktion som approximerar funktionen - vid varje punkt tar den ett av värdena (nämligen på delmängden ). Därför, om funktionen är Lebesgue-integrerbar, konvergerar dessa summor till sin integral när , , och partitionsdiametern tenderar till noll. $f(x)$ ${\displaystyle y_{1},y_{2},\dots ,y_{N))$ $y_{k}$ $\{x\in X:y_{k}<f(x)\leqslant y_{k+1}\}$ $f(x)$ $y_{1}\rightarrow -\infty$ $y_{N}\rightarrow +\infty$ ${\displaystyle \delta =\max\{y_{2}-y_{1},\dots ,y_{N}-y_{N-1}\))$

Det speciella med Lebesgue-integralsummor är att det för deras beräkning inte krävs att man beräknar värdena för den integrerbara funktionen - i själva verket behövs bara fördelningsfunktionen för dess värden:

{\displaystyle F(y)=\mu \{x\in X:f(x)\leqslant y\))

Sedan blir Lebesgue-integralsummorna för funktionen och måttet Riemann -Stieltjes-integralsummorna för funktionen och fördelningsfunktionen : $f(x)$ $\mu$ $y$ $F(y)$

S=\sum _{k=1}^{N}y_{k}(F(y_{k+1})-F(y_{k}))\högerpil \int \limits _{-\ infty }^{+\infty }ydF(y)

Om fördelningsfunktionen har densitet: , konverteras Lebesgue-integralsummor till Riemann-integralsummor : $F(y)$ $dF(y)=\rho (y)dy$

S=\sum _{k=1}^{N}y_{k}\rho (y_{k})(y_{k+1}-y_{k})\högerpil \int \limits _{ -\infty }^{+\infty }y\rho (y)dy

Eftersom fördelningsfunktioner naturligt uppstår inom sannolikhetsteori, statistisk och kvantfysik, används Lebesgue-integralen faktiskt för att beräkna Lebesgue-integralen, främst i tillämpningar av dessa teorier. Oftast beräknas Lebesgue-integralen som Riemann-integralen lika med den (i fall där den senare är vettig).

Konvergens av Lebesgue-integraler av sekvenser av funktioner

Anteckningar

↑ Lebesgue, Henri (1904). "Leçons sur l'intégration et la recherche des fonctions primitives". Paris: Gauthier Villars.

Litteratur

Kolmogorov A.N. , Fomin S.V. Element i funktionsteori och funktionsanalys. - ed. fjärde, reviderad. — M .: Nauka , 1976 . — 544 sid.
Trenogin V. A. Funktionsanalys. — M .: Nauka , 1980 . — 495 sid.
Shilov G.E. Matematisk analys. Specialkurs. - 2:a. — M .: Fizmatlit , 1961 . — 436 sid.

Frolov N. A. Teori om funktioner för en reell variabel. - 2:a. — M .: GUPIMPR , 1961 . — 173 sid.

Ordböcker och uppslagsverk	Stor ryss
I bibliografiska kataloger	BNF : 125110551 J9U : 987007561114305171 LCCN : sh94008345 NDL : 00567363 NKC : ph117704

Integralkalkyl

Main

Generaliseringar
av Riemann-integralen

Integrerade
transformationer

Numerisk
integration

måttteori

Relaterade ämnen

Listor över integraler