Levys teorem om monoton konvergens

Den monotona konvergenssatsen ( Beppo Levys sats ) är en sats från Lebesgues integrationsteorem som är av grundläggande betydelse för funktionsanalys och sannolikhetsteori , där den fungerar som ett verktyg för att bevisa många påståenden. Ger ett av villkoren under vilka det är möjligt att passera till gränsen under Lebesgue-integralens tecken [1] , satsen tillåter oss att bevisa existensen av en integrerbar gräns för vissa avgränsade funktionella sekvenser.

Olika formuleringar från funktionsanalys

I det följande betecknar utrymmet för integrerbara funktioner på ett utrymme med mått . Måttet är inte tänkt att vara ändligt. För alla integraler nedan är integrationsområdet hela utrymmet . $L_{1}(X,\mu )$ $(X,\mu )$ $X$

Levis sats (om den monotona gränsen för integrerbara funktioner). Låta vara en monotont icke-minskande sekvens av funktioner som kan integreras på , d.v.s. $f_{n}\in L_{1}(X,\mu )$ $X$

f_{n}(x)\leqslant f_{n+1}(x)

för alla och .

n\in {\mathbb {N}}

x\i X

Om deras integraler är sammanbundna:

\int f_{n}(x)d\mu \leqslant K

Sedan:

det finns en ändlig gräns nästan överallt (det vill säga funktionerna konvergerar punktvis till någon funktion nästan överallt på ); $\lim \limits _{n\to \infty }f_{n}(x):=f(x)$ $f_{n}(x)$ $f(x)$ $X$
gränsfunktionen är integrerbar på , det vill säga ; $f(x)$ $X$ $f\in L_{1}(X,\mu )$
funktioner konvergerar till en funktion i genomsnitt, det vill säga enligt rymdnormen ; $f_{n}(x)$ $f(x)$ $L_{1}(X,\mu )$
låt oss ta passagen till gränsen under integraltecknet:

\int f(x)d\mu =\lim \limits _{n\to \infty }\int f_{n}(x)d\mu

En annan form av Levys teorem hänvisar till term-för-term-integrering av icke-negativa serier:

Levys teorem (om term-för-term integration av icke-negativa serier). Låt vara icke-negativa funktioner integrerbara på . Om integralerna av seriens delsummor är avgränsade i aggregering $\varphi _{n}\in L_{1}(X,\mu )$ $X$

\int \sum _{k=1}^{n}\varphi _{k}(x)d\mu \leqslant C

sedan

serien konvergerar nästan överallt till ett ändligt värde; $\sum _{{k=1}}^{\infty }\varphi _{k}(x)$
summan av serien är en integrerbar funktion; $\sum _{{k=1}}^{\infty }\varphi _{k}(x)$
sekvensen av partiella summor av en serie konvergerar till dess summa i rymdnormen ; $L_{1}(X,\mu )$
term-by-term integration av funktionsserien är tillåten:

\int \sum _{k=1}^{\infty }\varphi _{k}(x)d\mu =\sum _{k=1}^{\infty }\int \varphi _{ k}(x)d\mu

Den första och andra formen av satsen övergår i varandra när , eller . Den andra formen tillåter dock följande förlängning av integreringen av funktionella serier, inte nödvändigtvis av konstant tecken: $f_{n}(x)=\sum _{k=1}^{n}\varphi _{k}(x)$ $\varphi _{n}(x)=f_{n}(x)-f_{n-1}(x)$

Levis sats (om term-för-term integration av funktionella serier). Låt vara funktioner integrerbara på . Om serien konvergerar $\varphi _{n}\in L_{1}(X,\mu )$ $X$

\sum _{k=1}^{\infty }\int |\varphi _{k}(x)|d\mu <\infty

sedan

serien konvergerar absolut nästan överallt till ett ändligt värde; $\sum _{{k=1}}^{\infty }\varphi _{k}(x)$
summan av serien är en integrerbar funktion; $\sum _{{k=1}}^{\infty }\varphi _{k}(x)$
sekvensen av partiella summor av en serie konvergerar till dess summa i rymdnormen ; $L_{1}(X,\mu )$
term-by-term integration av funktionsserien är tillåten:

\int \sum _{k=1}^{\infty }\varphi _{k}(x)d\mu =\sum _{k=1}^{\infty }\int \varphi _{ k}(x)d\mu

För att få Lévys sats i denna form, måste man tillämpa Lebesgues stora konvergenssats, eftersom de partiella summorna av serien tillåter en integrerbar majorant :

\left|\sum _{k=1}^{n}\varphi _{k}(x)\right|\leqslant \sum _{k=1}^{\infty }|\varphi _{ k}(x)|=\varphi(x)

Formulering från sannolikhetsteori

Eftersom den matematiska förväntan av en slumpvariabel definieras som dess Lebesgue-integral över utrymmet av elementära utfall , överförs ovanstående sats till sannolikhetsteorin . Låta vara en monoton sekvens av icke-negativa a.s. integrerbara slumpvariabler. Sedan $\Omega$ $\{X_n\}_{n=1}^{\infty}$

{\mathbb {E}}\left[\lim \limits _{{n\to \infty }}X_{n}\right]=\lim \limits _{{n\to \infty }}{\mathbb { E}}X_{n}

Se även

Anteckningar

↑ Det vill säga, det ger ett villkor under vilket konvergens och likhet av integraler följer från konvergensen av den funktionella sekvensen till den summerbara gränsen . $f_{n}(x)\högerpil f(x)$ $\lim _{{n\to \infty }}\int f_{n}(x)dx=\int f(x)dx$

Litteratur

Kolmogorov A.N. , Fomin S.V. Element i funktionsteori och funktionsanalys. - ed. fjärde, reviderad. — M .: Nauka , 1976 . — 544 sid.
Trenogin V. A. Funktionsanalys. — M .: Nauka , 1980 . — 495 sid.
Shilov G.E. Matematisk analys. Specialkurs. - 2:a. — M .: Fizmatlit , 1961 . — 436 sid.