Hållbar distribution

Den aktuella versionen av sidan har ännu inte granskats av erfarna bidragsgivare och kan skilja sig väsentligt från versionen som granskades den 5 december 2015; kontroller kräver 4 redigeringar .

En stabil fördelning i sannolikhetsteorin är en fördelning som kan erhållas som en gräns för fördelningen av summor av oberoende stokastiska variabler .

Definition

Fördelningsfunktionen kallas stabil om det för några reella tal finns tal så att likheten sker: , där * är faltningsoperationen . Om är en karakteristisk funktion för en stabil fördelning, så för alla finns det siffror som . [ett] $F(x)$ $a_{1}>0,a_{2}>0,b_{1},b_{2}$ $a>0,b$ $F(a_{1}x+b_{1})*F(a_{2}x+b_{2})=F(ax+b)$ $\phi (t)$ $a_{1}>0,a_{2}>0$ $a>0,b$ $\phi ({\frac {t}{a_{1}}})\phi ({\frac {t}{a_{2}}})=\phi ({\frac {t}{a} }){e}^{-itb}$

Anteckningar

If är en stabil distributionsfunktion , då , sådan att $F_{X}$ $\forall n\i \mathbb {N} ,\;\exists a_{n}>0,b_{n}\i \mathbb {R}$

F_{X}\left({\frac {x-b_{n}}{a_{n}}}\right)=\underbrace {F_{X}(x)*\cdots *F_{X} (x)} _{n},\quad \forall x\in \mathbb {R}

där betecknar en faltning . $*$

Om är den karakteristiska funktionen för en stabil fördelning, då , sådan att $\phi _{X}$ $\forall n\i \mathbb {N} ,\;\exists a_{n},b_{n}\i \mathbb {R}$

{\displaystyle \phi _{X}^{n}(t)=\phi _{X}(a_{n}t)\,e^{ib_{n}t))

Egenskaper för stabila distributioner

Låta vara oberoende identiskt fördelade slumpvariabler och , Där finns några normaliserings- och centreringskonstanter. Om är en fördelningsfunktion av slumpvariabler , då kan endast stabila distributioner vara begränsande distributioner för at . Motsatsen är sant: för varje stabil fördelning finns det en sekvens av slumpvariabler , som konvergerar till som . [ett] ${\displaystyle \xi _{1},\xi _{2},...,\xi _{n))$ $\eta _{n}={\frac {1}{\beta _{n))}\sum _{k=1}^{n}\xi _{k}-\alpha _{n}$ ${\displaystyle \beta _{n}>0,\alpha _{n))$ $F_{n}(x)$ $\eta _{n}$ $F_{n}(x)$ $n\till\infty$ $F(x)$ $\eta _{n}={\frac {1}{\beta _{n))}\sum _{k=1}^{n}\xi _{k}-\alpha _{n}$ $F_{n}(x)$ $F(x)$ $n\till\infty$

(Levy-Khinchin-representation) Logaritmen för den karakteristiska funktionen för en slumpvariabel med en stabil fördelning har formen:

\ln \phi (t)={\begin{cases}it\beta -d|t|^{\alpha }\left(1+i\theta {\frac {t}{|t|}} G(t,\alpha )\right),&t\not =0,\\0,&t=0.\end{cases}}

var och $0<\alpha \leq 2,\;\beta \in \mathbb {R} ,\;d\geq 0,\;|\theta |\leq 1,$

G(t,\alpha )={\begin{cases}\mathrm {tg} {\frac {\pi }{2}}\alpha ,&\alpha \not =1,\\{\frac { 2}{\pi }}\ln |t|,&\alpha =1.\end{cases}}

Se även

Oändligt delbar fördelning .

Anteckningar

↑ 1 2 Korolyuk, 1985 , sid. 141.

Litteratur

Korolyuk V.S. , Portenko N.I. , Skorokhod A.V. , Turbin A.F. Handbok i sannolikhetslära och matematisk statistik. - M. : Nauka, 1985. - 640 sid.

Sannolikhetsfördelningar
Diskret	Bernoulli Binom Geometrisk hypergeometrisk Logaritmisk Negativ binomial Poisson Diskret uniform Multinomial
Absolut kontinuerligt	Beta Weibulla Gamma- hyperexponentiell Gompertz Kolmogorov Cauchy Laplace lognormal Normal (Gaussian) Logistisk Nakagami Pareto Pearson halvcirkelformig kontinuerlig uniform Ris Rayleigh Studerande Tracey - Vidoma Fiskare Chi-kvadrat Exponentiell Varians-gamma Multivariat normal kopula