Local de Moivre-Laplace teorem

Moivre - Laplace -satsen är en av sannolikhetsteorems begränsande satser, fastställd av Laplace 1812 . Om sannolikheten för att någon slumpmässig händelse inträffar för var och en av de oberoende försöken är lika med , och är antalet försök där den faktiskt inträffar, så är sannolikheten för ojämlikhetens giltighet nära (för stor ) värdet av Laplace-integralen. $n$ $E$ $p\in(0,1)$ $m$ $E$ $n$

Applikation

När man överväger antalet förekomster av en händelse i Bernoulli-försök är det oftast nödvändigt att hitta sannolikheten som ligger mellan vissa värden och . Eftersom för tillräckligt stora intervallet innehåller ett stort antal ettor, då direkt användning av binomialfördelningen $m$ $A$ $n$ $m$ $a$ $b$ $n$ $[a,b]$

$p_{n}(m)={\frac {n!}{m!(nm)!}}p^{m}q^{{nm}}$

kräver besvärliga beräkningar, eftersom det är nödvändigt att summera ett stort antal sannolikheter som bestäms av denna formel.

Därför används ett asymptotiskt uttryck för binomialfördelningen , förutsatt att det är fast, och . Moivre-Laplace-satsen säger att ett sådant asymptotiskt uttryck för binomialfördelningen är en normal funktion. $sid$ $n\högerpil +\infty$

Formulering

Om i Bernoulli-schemat tenderar till oändlighet, är värdet konstant, och värdet begränsas enhetligt i och (det vill säga ), då $n$ $p\in(0,1)$ $x_{m}={\frac {m-np}{{\sqrt {npq))))$ $m$ $n$ $\exists a,b:-\infty <a\leqslant x_{m}\leqslant b<+\infty$

$P_{n}(m)={\frac {1}{{\sqrt {2\pi npq))))\exp \left(-{\frac {x_{m}^{2}}{2}} \right)(1+\alpha _{n}(m))$

var . $\left|\alpha _{n}(m)\right|<{\frac {c}{\sqrt {n}}},c={\text{const}}>0$

Ungefärlig formel

$P_{n}(m)\approx {\frac {1}{{\sqrt {2\pi npq))))\exp \left(-{\frac {x_{m}^{2)){2} }\höger)$

det rekommenderas att ansöka vid och kl . $n>100$ $m>20$

Bevis

För att bevisa satsen kommer vi att använda Stirlingformeln från matematisk analys :

s!={\sqrt {2\pi }}s^{s+1/2}e^{-s}e^{\theta _{s)),

(ett)

var . $0<\theta _{s}<1/{12s}$

I stort är värdet mycket litet, och den ungefärliga Stirlingformeln skrivs i en enkel form $s$ $\theta$

s!={\sqrt {2\pi }}s^{{s+1/2}}e^{{-s}}

(2)

ger ett litet relativt fel, som snabbt tenderar till noll vid . $s\högerpil +\infty$

Vi kommer att vara intresserade av värden som inte skiljer sig mycket från de mest troliga. Då, under ett fast villkor , kommer det också att innebära det $m$ $sid$ $n\högerpil +\infty$

m\rightarrow +\infty ,nm\rightarrow +\infty .

(3)

Därför är användningen av Stirlings ungefärliga formel för att ersätta faktorial i binomialfördelningen giltig, och vi får

p_{n}(m)\approx {\sqrt {\frac {n}{2\pi m(nm)}}}\left({\frac {np}{m}}\right)^{ m}\left({\frac {nq}{nm}}\right)^{nm}.

(fyra)

Du måste också använda avvikelsen för den relativa frekvensen från det mest sannolika värdet:

x_{m}={\frac {m}{n}}-s.

(5)

Sedan tar uttrycket (4) formen:

p_{n}(m)=\left[2\pi n(p+x_{m})(q-x_{m})\right]^{-1/2}\left(1+{ \frac {x_{m}}{p}}\right)^{-n(p+x_{m})}\left(1-{\frac {x_{m}}{q}}\right)^ {-n(q-x_{m})}.

(6)

Låt oss låtsas som det

x_{m}<pq.

(7)

Med logaritmen för den andra och tredje jämlikhetsfaktorn (6) tillämpar vi Taylor-seriens expansion:

-n\left[(p+x_{m})\ln {\left(1+{\frac {x_{m}}{p}}\right)}+(q-x_{m})\ln { \left(1-{\frac {x_{m}}{q}}\right)}\right]=

-n\left[(p+x_{m})\left({\frac {x_{m}}{p}}-{\frac {x_{m}^{2}}{2p^{ 2}}}+{\frac {x_{m}^{3}}{3p^{3}}}-\cdots \right)+(q-x_{m})\left(-{\frac {x_ {m}}{q}}-{\frac {x_{m}^{2}}{2q^{2}}}-{\frac {x_{m}^{3}}{3q^{3} }}-\cdots\right)\right].

(åtta)

Vi ordnar villkoren för denna expansion i befogenheter : $x_{m}$

-n\left[{\frac {x_{m}^{2}}{2}}\left({\frac {1}{p}}+{\frac {1}{q}}\ höger)-{\frac {x_{m}^{3}}{6}}\left({\frac {1}{p^{2}}}-{\frac {1}{q^{2} }}\right)+\cdots\right].

(9)

Låt oss anta att kl $n\rightarrow +\infty ,$

nx_{m}^{3}\rightarrow 0.

(tio)

Detta tillstånd, som redan nämnts ovan, innebär att de värden som beaktas inte är särskilt långt ifrån de mest sannolika. Det är uppenbart att (10) säkerställer att (7) och (3) uppfylls. $m$

Om vi nu försummar de andra och efterföljande termerna i expansion (6), finner vi att logaritmen för produkten av produktens andra och tredje term på höger sida av (8) är lika med

-{\frac {n}{2pq}}x_{m}^{2}.

(elva)

Om vi kasserar de små termerna inom parentes av den första faktorn (6), får vi

p_{n}(m)\approx \left({\frac {1}{\sqrt {2\pi npq))}\right)\exp {\left(-{\frac {n}{2pq }}x_{m}^{2}\right)}.

(12)

Betecknar

\sigma ={\sqrt {\frac {pq}{n}}},

(13)

skriv om (12) som

p_{n}(m)\approx {\frac {1}{n}}{\frac {1}{\sigma {\sqrt {2\pi }}}}\exp {\left(-{ \frac {x_{m}^{2}}{2\sigma ^{2}}}\right)}={\frac {1}{n}}\varphi (x_{m}),

(fjorton)

Var finns en normal funktion. $\varphi (x_{m})$

Eftersom det bara finns ett heltal i intervallet kan vi säga att det finns en sannolikhet att falla in i intervallet . Av (5) följer att en förändring med 1 motsvarar en förändring med $[m,m+1)$ $m$ $p_{n}(m)$ $m$ $[m,m+1)$ $m$ $x_{m}$

\Delta x={\frac {1}{n)).

(femton)

Därför är sannolikheten att falla i intervallet lika med sannolikheten att falla i intervallet $m$ $[m,m+1)$ $x_{m}$ $[x_{m0},x_{m0}+\Delta x),$

P(x_{m0}\leq x_{m}\leq x_{m0}+\Delta x)=\varphi (x_{m})\Delta x.

(16)

Om , så visar likhet (16) också att normalfunktionen är densiteten av den slumpmässiga variabeln . $n\högerpil +\infty$ $\Delta x\rightarrow +0$ $\varphi(x)$ $x_{m}$

Således, om sedan för avvikelsen av den relativa frekvensen från det mest sannolika värdet, är den asymptotiska formeln (16) giltig, i vilken är en normal funktion av c och . $n\högerpil +\infty ,nx^{3}\högerpil 0$ $\varphi(x)$ $x_{m}=0$ $\sigma ^{2}={\frac {pq}{n}}$

Därmed är satsen bevisad.

Litteratur

Gmurman V. E. Sannolikhetsteori och matematisk statistik, - M . : Högre utbildning. 2005
Shiryaev A. N. Sannolikhet, - M . : Nauka. 1989.
Chistyakov V.P. Course of Probability Theory, Moskva , 1982.