Bernoullis plan

Den aktuella versionen av sidan har ännu inte granskats av erfarna bidragsgivare och kan skilja sig väsentligt från versionen som granskades den 16 juli 2021; verifiering kräver 1 redigering .

Experiment utförs , i vilka en viss händelse ("framgång") kan inträffa med en sannolikhet (eller inte hända - "misslyckande" - med en sannolikhet ). Uppgiften är att hitta sannolikheten för att uppnå exakta framgångar i dessa experiment. $n$ $sid$ $q=1-p$ $m$ $n$

Lösning:

P_{n}(m)=C_{n}^{m}p^{m}(1-p)^{{nm}}

( Bernoulli formel ).

Antalet framgångar är ett slumpmässigt värde som har en binomialfördelning .

Definition

För att tillämpa Bernoulli-systemet måste följande villkor vara uppfyllda:

Varje försök har exakt två resultat, konventionellt kallade framgång och misslyckande.
Testernas oberoende: resultatet av nästa experiment bör inte bero på resultaten från tidigare experiment.
Sannolikheten för framgång bör vara konstant (fast) för alla försök.

Tänk på ett stokastiskt experiment med ett rum med två element av elementära händelser . Låt oss kalla en "framgång", vi kommer att utse "1", en annan - "misslyckande", vi kommer att utse "0". Låt sannolikheten för framgång vara , då sannolikheten för misslyckande . $0<p<1$ $1-p=q$

Låt oss överväga ett nytt stokastiskt experiment, som består i -faldig upprepning av detta enklaste stokastiska experiment. $n$

Det är tydligt att utrymmet för elementära händelser , som motsvarar detta nya stokastiska experiment kommer att vara (1), . Låt oss ta Boolean av utrymmet av elementära händelser (2) som -algebra av händelser . Varje elementär händelse tilldelas ett nummer . Om i en elementär händelse framgång observeras en gång, och misslyckande observeras en gång , då . Låt då . Det är också uppenbart att sannolikheten är normaliserad: . $\Omega$ $\left\{\Omega =(a_{1},...,a_{n})|a_{i}=\överlinje {0,1},i=\överlinje {1,n}\höger\rbrace$ $N(\Omega )=2^{n}$ $\sigma$ $\mathcal{A}$ $P(\Omega)$ $\omega \i \Omega$ $p(\omega )=p^{{\sum _{{i=1}}^{n}a_{i}}}q^{{n-\summa _{{i=1}}^{n} a_{i}}}$ $\omega$ $k$ $(nk)$ $p(\omega )=p^{k}q^{{nk}}$ $A_{k}=\{\omega \in \Omega |\sum _{{i=1}}^{n}a_{i}=k\},k=\overline {0,n}$ $P(A_{k})=\summa _{{\omega \in A_{k))}P(\omega )=C_{n}^{k}p^{k}q^{{nk))$ $\sum _{{\omega \in \Omega }}P(\omega )=\summa _{{k=0}}^{n}\summa _{{\omega \in A_{k}}}P( \omega )=\summa _{{k=0}}^{n}C_{n}^{k}p^{k}q^{{nk}}=(p+q)^{n}=1 ^{n}=1$

Genom att tilldela ett numeriskt värde (3) till varje händelse hittar vi sannolikheten . Det konstruerade rummet , där är utrymmet för elementära händelser som definieras av likhet (1), är -algebra som definieras av likhet (2), P är sannolikheten definierad av likhet (3), kallas Bernoulli -testschemat . $A\in {\mathcal {A}}$ $P(A)=\summa _{{\omega \in A}}P(\omega )$ $P:{\mathcal {A}}\to {\mathbb {R}}$ $(\Omega ,{\mathcal {A}),P)$ $\Omega$ $\mathcal{A}$ $\sigma$ $n$

Uppsättningen av tal kallas binomialfördelningen. $P_{n}(k)=C_{n}^{k}p^{k}q^{{nk}},k=\överlinje {0,n},n\in {\mathbb {N}}$

Generalisering (polynomschema)

Den vanliga Bernoulli-formeln gäller för fallet när en av två händelser är möjlig i varje rättegång. Bernoullis formel kan generaliseras till fallet när en och endast en av händelserna inträffar med sannolikhet , där . Sannolikheten för förekomsten av den första händelsen och - den andra och den k:te tiden hittas av formeln: $k>2$ $p_{i}(i=1,2,...,k)$ $p_{1}+...+p_{k}=1$ $m_{1}$ $m_{2}$ $m_{k}$

P_{n}(m_{1},m_{2},...,m_{k})={\frac {n!}{m_{1}!m_{2}!...m_{k} !}}{p_{1}}^{{m_{1}}}{p_{2}}^{{m_{2}}}...{p_{k}}^{{m_{k}} }

var $n=m_{1}+m_{2}+...+m_{k}.$

Satser

Under speciella förhållanden (för tillräckligt stora eller tillräckligt små parametrar) används ungefärliga formler från gränssatser för Bernoulli-schemat : Poissons sats , den lokala Moivre-Laplace-satsen, Moivre-Laplace - integralsatsen .

Länkar

Testsekvens (Bernoulli-schema)

Ordböcker och uppslagsverk	Stor ryss
I bibliografiska kataloger	J9U : 987007283266105171 LCCN : sh85013374