Villkorlig distribution

En villkorlig fördelning i sannolikhetsteorin är fördelningen av en stokastisk variabel under förutsättning att en annan stokastisk variabel får ett visst värde.

Definitioner

Vi kommer att anta att ett sannolikhetsutrymme ges . $(\Omega ,{\mathcal {F}),\mathbb {P} )$

Diskreta slumpvariabler

Låta och vara slumpvariabler så att slumpvektorn har en diskret fördelning som ges av sannolikhetsfunktionen . Låt sådan att . Sedan funktionen $X:\Omega \to \mathbb {R} ^{m}$ $Y:\Omega \to \mathbb {R} ^{n}$ $(X,Y)^{\top }:\Omega \to \mathbb {R} ^{m+n}$ $p_{X,Y}(x,y),\;x\in \mathbb {R} ^{m},y\in \mathbb {R} ^{n}$ $y_{0}\in \mathbb {R} ^{n}$ $\mathbb {P} (Y=y_{0})>0$

p_{X\mid Y}(x\miden y_{0})=\mathbb {P} (X=x\miden Y=y_{0})={p_{X,Y}(x,y_{0} ) \över p_{Y}(y_{0})},\;x\in \mathbb {R} ^{m}

där är sannolikhetsfunktionen för en slumpvariabel , kallas den villkorade sannolikhetsfunktionen för en slumpvariabel förutsatt att . Fördelningen som ges av den betingade sannolikhetsfunktionen kallas den villkorliga fördelningen. $p_{Y}$ $Y$ $X$ $Y=y_{0}$

Absolut kontinuerliga slumpvariabler

Låta och vara slumpvariabler så att slumpvektorn har en absolut kontinuerlig fördelning givet av sannolikhetstätheten . Låta vara sådan att , där är densiteten av den slumpmässiga variabeln . Sedan funktionen $X:\Omega \to \mathbb {R} ^{m}$ $Y:\Omega \to \mathbb {R} ^{n}$ $(X,Y)^{\top }:\Omega \to \mathbb {R} ^{m+n}$ $f_{X,Y}(x,y),\;x\in \mathbb {R} ^{m},y\in \mathbb {R} ^{n}$ $y_{0}\in \mathbb {R} ^{n}$ $f_{Y}(y_{0})>0$ $f_{Y}$ $Y$

f_{X\mid Y}(x\mitten y_{0})={\frac {f_{X,Y}(x,y_{0})}{f_{Y}(y_{0})}}

kallas den villkorade sannolikhetsdensiteten för en slumpvariabel förutsatt att . Fördelningen som ges av den villkorliga sannolikhetstätheten kallas den villkorliga fördelningen. $X$ $Y=y_{0}$

Egenskaper för villkorliga distributioner

Betingade sannolikhetsfunktioner och betingade sannolikhetstätheter är sannolikhetsfunktioner respektive sannolikhetstätheter, det vill säga de uppfyller alla nödvändiga villkor. Särskilt,

$p_{X\mid Y}(x\mid y_{0})\geq 0,\;\forall x\in \mathbb {R} ^{m},\,y_{0}\in \mathbb {R} ^{n}$ ,
$\sum \limits _{x}p_{X\mid Y}(x\mid y_{0})=1,\;\forall y_{0}\in \mathbb {R} ^{n}$ ,

och

$f_{X\mid Y}(x\midt y_{0})\geq 0$ nästan överallt _ $\mathbb {R} ^{m+n}$
$\int \limits _{\mathbb {R} ^{m}}f_{X\mid Y}(x\mid y_{0})\,dx=1,\;\forall y_{0}\in \mathbb {R} ^{n}$ ,

Formlerna för total sannolikhet är giltiga :

$p_{X}(x)=\summa \limits _{y}p_{X\mid Y}(x\mitt y)\,p_{Y}(y)$ ,
$f_{X}(x)=\int \limits _{\mathbb {R} ^{n}}f_{X\mid Y}(x\mid y)\,f_{Y}(y)\,dy$ .

Om de slumpmässiga variablerna och är oberoende , då är den villkorliga fördelningen lika med den ovillkorliga: $X$ $Y$

p_{X\mid Y}(x\midt y_{0})=p_{X}(x),\;\forall x\in \mathbb {R} ^{m}

eller

f_{X\mid Y}(x\mitten y_{0})=f_{X}(x)

nästan överallt på .

\mathbb {R} ^{m}

Villkorliga sannolikheter

Diskreta slumpvariabler

Om är en räknebar delmängd , alltså $A$ $\mathbb {R} ^{m}$

\mathbb {P} (X\i A\mid Y=y_{0})=\summa \limits _{x\in A}p_{X\mid Y}(x\mitt y_{0})

Absolut kontinuerliga slumpvariabler

Om är en Borel- delmängd av , så sätter vi per definition $A\in {\mathcal {B}}(\mathbb {R} ^{m})$ $\mathbb {R} ^{m}$

\mathbb {P} (X\in A\mid Y=y_{0})=\int \limits _{A}f_{X\mid Y}(x\mid y_{0})\,dx

Kommentar. Den betingade sannolikheten på den vänstra sidan av jämlikheten kan inte definieras på klassiskt sätt, eftersom . $\mathbb {P} (Y=y_{0})=0$

Villkorliga förväntningar

Diskreta slumpvariabler

Den villkorliga matematiska förväntan av en slumpvariabel under villkoret erhålls genom att summera med avseende på den villkorliga fördelningen: $X$ $Y=y_{0}$

\mathbb {E} [X\mid Y=y_{0}]=\summa \limits _{x}x\,p_{X\mid Y}(x\mid y_{0})

Den villkorliga matematiska förväntan under villkoret av en stokastisk variabel är den tredje stokastiska variabeln som ges av likheten $X$ $Y$ $\mathbb {E} [X\mid Y]$

\mathbb {E} [X\mid Y](\omega )=\mathbb {E} [X\mid Y=Y(\omega )],\;\omega \in \Omega

Absolut kontinuerliga slumpvariabler

Den villkorliga matematiska förväntan av en slumpvariabel under villkoret erhålls genom att integrera med avseende på den villkorliga fördelningen: $X$ $Y=y_{0}$

\mathbb {E} [X\mid Y=y_{0}]=\int \limits _{\mathbb {R} ^{m}}x\,f_{X\mid Y}(x\miden y_{0 })\,dx

Den villkorliga matematiska förväntan under villkoret av en stokastisk variabel är den tredje stokastiska variabeln som ges av likheten $X$ $Y$ $\mathbb {E} [X\mid Y]$

\mathbb {E} [X\mid Y](\omega )=\mathbb {E} [X\mid Y=Y(\omega )],\;\omega \in \Omega

Se även

Villkorlig förväntan