Singularfördelning

En singularfördelning (med avseende på mått ) är en sannolikhetsfördelning som är centrerad på en mängd så att . Emellertid används ofta en snävare definition, som säger att en fördelning i rymden kallas singular , koncentrerad till en uppsättning av noll Lebesgue-mått och tilldelar noll sannolikhet till varje enpunktsuppsättning [1] . Det är viktigt att notera att enligt den allmänna definitionen är varje diskret distribution singular med avseende på Lebesgue-måttet, men i en viss definition härleds diskreta distributioner från uppsättningen singulara. $\mu$ $M$ $\mu (M)=0$ $\mathbb {R} ^{n}$

För ett endimensionellt utrymme kan det också hävdas att fördelningen är singular om uppsättningen tillväxtpunkter för fördelningsfunktionen har nollmått.

Egenskaper

En singularfördelning kan inte vara absolut kontinuerlig (enligt Radon-Nikodim-satsen ).

Vilken sannolikhetsfördelning som helst kan representeras som följande summa: $F$

F=pF_{s}+qF_{ac}

där , , , fördelningen är singular med avseende på måttet , och fördelningen är absolut kontinuerlig med avseende på samma måttet [2] . $\quad p\geqslant 0$ $q\geqslant 0$ $p+q=1$ ${\displaystyle F_{s))$ $\mu$ ${\displaystyle F_{ac))$

Exempel

Det enklaste exemplet på en singularfördelning är en distribution centrerad på en Cantor-uppsättning (dess fördelningsfunktion är Cantor-stegen ).

En vanligare singularfördelning i praktiska problem är fördelningen av slumpmässiga riktningar i ett tvådimensionellt euklidiskt rum [2] . Den slumpmässiga riktningen motsvarar en enhetsvektor som roteras genom en slumpmässig vinkel i förhållande till vektorn . Att välja en slumpmässig riktning motsvarar att välja en slumpmässig punkt på enhetscirkeln, som i sin tur har noll area, därför är denna fördelning singular. $(1,0)$

Anteckningar

↑ Singular distribution // Matematisk uppslagsverk : [i 5 volymer] / Kap. ed. I. M. Vinogradov . - M . : Soviet Encyclopedia, 1977-1985.
↑ 1 2 Feller V. Introduktion till sannolikhetsteorin och dess tillämpningar. - 2:a uppl. - M . : Mir, 1964. - T. 2. - S. 177-179.