Kantors stege

Cantor-stegen är ett exempel på en kontinuerlig monoton funktion som inte är en konstant utan har en derivata som är noll i nästan alla punkter ( singular funktion ). Kallas ibland "Devil's Staircase" eller "Devil's Staircase". [ett] $[0,1]\till [0,1]$

Byggnader

Standard

Vid punkterna 0 och 1 antas värdet på funktionen vara 0 respektive 1. Vidare är intervallet (0, 1) uppdelat i tre lika delar , och . På mittsegmentet antar vi . De återstående två segmenten är återigen uppdelade i tre lika delar vardera, och på mittsegmenten antas det vara lika med och . Vart och ett av de återstående segmenten är återigen uppdelat i tre delar, och på de inre segmenten definieras som en konstant lika med det aritmetiska medelvärdet mellan intilliggande, redan definierade värden . Vid de återstående punkterna av enhetssegmentet bestäms av kontinuitet. Den resulterande funktionen kallas Cantor ladder . $\left(0,{\frac {1}{3}}\right)$ $\left({\frac {1}{3)),{\frac {2}{3}}\right)$ $\left({\frac {2}{3)),1\right)$ $F(x)={\frac {1}{2}}$ $F(x)$ ${\frac {1}{4))$ ${\frac {3}{4))$ $F(x)$ $F(x)$

Med binär och ternär notation

Vilket nummer som helst kan representeras i det ternära talsystemet , . Om en 1 förekommer i posten kasserar vi alla efterföljande siffror från den och i den återstående sekvensen ersätter vi var och en med 1. Den resulterande sekvensen ger en post över värdet på Cantor-stegen vid en punkt i det binära talsystemet . $x\in[0,1]$ $x=(0{,}a_{1}a_{2}\dots )_{3}$ $a_{i}\in \{0,1,2\}$ $0{,}a_{1}a_{2}\prickar$ $0{,}b_{1}b_{2}\prickar$ $x$

Egenskaper

Derivatan av Cantor-stegen är definierad och är noll på alla punkter utom Cantor-uppsättningen .
Cantors stege är kontinuerlig , av begränsad variation , men inte absolut kontinuerlig .
Cantor-stegen har inte Luzin-egendomen .

Se även

Länkar

↑ Weisstein, Eric W. Devil 's Staircase på Wolfram MathWorld- webbplatsen .