Tjugofyra-cell med snubbnos

Tjugofyra-cell med snubbnos
Ortogonal projektion in i tredimensionell rymd - på ett hyperplan som passerar genom en ikosaedrisk cell
Sorts	Uniform multicell
Schläfli symbol	s{3,4,3} sr{3,3,4} s{3 1,1,1 }
celler	144
ansikten	480
revben	432
Toppar	96
Vertex figur	Trippelskuren icosahedron

En snubnosad tjugofyra - cell är en fyrdimensionell polyeder , en av 47 icke-prismatiska konvexa homogena multiceller och en av 3 semi-reguljära multi-celler (eftersom den är sammansatt av två olika typer av platonska fasta ämnen ).

Den beskrevs först i en tidning från 1900 av Thorold Gosset [1] , som kallade polycellen en tetrikosaedrisk eftersom dess celler är tetraedrar och icosaedrar. Även känd som snub-nosed icositetrachore , semi-snub polyoctahedron ( eng. semi-snub polyoctahedron ) [2] .

Beskrivning

Begränsad till 144 tredimensionella celler - 120 vanliga tetraedrar och 24 vanliga ikosaedrar . Varje ikosaedrisk cell är omgiven av åtta ikosaedriska och tolv tetraedriska. Tetraedriska celler är indelade i två grupper: 24 av dem är omgivna av fyra tetraedriska celler, de återstående 96 är omgivna av tre ikosaedriska celler och en tetraedrisk cell.

Dess 480 tvådimensionella ansikten är identiska regelbundna trianglar . 96 ansikten separerar två ikosaedriska celler, 96 ansikten separerar två tetraedriska celler, de återstående 288 - ikosaedriska och tetraedriska.

Den har 432 lika långa revben. Tre ytor och tre celler vardera (två ikosaedriska och en tetraedrisk) konvergerar på 288 kanter, fyra ytor och fyra celler vardera (icosaedriska och tre tetraedriska) konvergerar på de återstående 144 kanterna.

Har 96 hörn. Varje vertex har 9 kanter, 15 ytor och 8 celler (tre icosaedriska och fem tetraedriska).

En tjugofyra cell med snubbnos kan erhållas från en sexhundra cell genom att skära av 24 icosaedriska pyramider från den - så att bara deras baser återstår istället. Topppunkterna i den resulterande multicellen är 96 av de 120 hörnen i sexhundracellen (och de borttagna 24 hörnen bildar hörnen på den vanliga tjugofyra cellen ); revben - 432 av 720 revben av en sexhundra cell; ansikten - 480 av de 1200 ansiktena i en sexhundra cell. Av detta är det tydligt att den snubbnosade tjugofyra-cellen också har en omskriven och både halvinskriven tredimensionell hypersfär , och de sammanfaller med de omskrivna och halvinskrivna hypersfärerna i den ursprungliga sexhundracellen.

I koordinater

En snub-nosed tjugofyra cell med en kantlängd kan placeras i ett kartesiskt koordinatsystem så att koordinaterna för dess hörn är alla möjliga även permutationer av uppsättningar av nummer där är förhållandet mellan det gyllene snittet . $2$ $\left(0;\;\pm 1;\;\pm \Phi ;\;\pm \Phi ^{2}\höger),$ $\Phi ={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}$

I det här fallet kommer ursprunget för koordinaterna att vara multicellens symmetricentrum, såväl som centrum för dess omskrivna och semi-inskrivna hypersfärer. $\left(0;\;0;\;0;\;0\right)$

Ortogonala projektioner på ett plan

Metriska egenskaper

Om en tjugofyra cell med snubbnos har en längdkant, uttrycks dess fyrdimensionella hypervolym respektive tredimensionella ythyperarea som $a,$

V_{4}=5\left({\frac {9}{4}}+{\sqrt {5}}\right)a^{4}\approx 22{,}4303399a^{4},

S_{3}=10\left(3+{\sqrt {2}}+{\sqrt {5}}\right)a^{3}\approx 66{,}5028154a^{3}.

Radien för den beskrivna hypersfären (som går genom alla hörn i multicellen) blir då lika med

R=\Phi a={\frac {1}{2}}\left(1+{\sqrt {5}}\right)a\approx 1{,}6180340a,

radien för den yttre halvinskrivna hypersfären (vidrör alla kanter vid deras mittpunkter) —

\rho _{1}={\frac {1}{2}}{\sqrt {5+2{\sqrt {5}}}}\;a\approx 1{,}5388418a,

radie för den inre halvinskrivna hypersfären (berörande alla ansikten i deras centra) —

\rho _{2}={\frac {1}{6}}\left({\sqrt {15}}+3{\sqrt {3}}\right)a\approx 1{,}5115226a .

Det är omöjligt att passa in en hypersfär i en tjugofyra-cell med snubbnos så att den vidrör alla celler. Radien för den största hypersfären som kan placeras inuti en tjugofyra cell med snubbnos med en kant (den kommer bara att vidröra alla ikosaedriska celler i deras centrum) är $a$

r_{I}={\frac {1}{4}}\left(3+{\sqrt {5}}\right)a\approx 1{,}3090170a.

Avståndet från multicellens centrum till valfri tetraedrisk cell överstiger och är lika med ${\displaystyle r_{I))$

r_{T}={\frac {1}{4}}\left({\sqrt {10}}+2{\sqrt {2}}\right)a\approx 1{,}4976762a.

Utrymmesfyllning

Med tjugofyra celler med nos, sexton celler och fem celler kan du belägga ett fyrdimensionellt utrymme utan luckor och överlappningar (se artikeln på engelska Wikipedia). Även denna fyllning hittades av Thorold Gosset.

Anteckningar

↑ Thorold Gosset. Om de reguljära och halvregelbundna figurerna i rymden av n dimensioner. — Messenger of Mathematics, vol. 29. - Macmillan, 1900. - s. 43-48.
↑ John H. Conway , Heidi Burgiel, Chaim Goodman-Strass. Sakernas symmetrier. - 2008, ISBN 978-1-56881-220-5 . — sid. 401.

Länkar

George Olshevsky. Tryck #11: Snub icositetrachoron-nät