Permutationsoperatörer

Permutationsoperatorerna är den begränsade linjära operatorn och den linjära operatorn , för vilka operatorn är en förlängning av operatorn : . Om operatorerna och är definierade på hela utrymmet (desutom är de inte nödvändigtvis begränsade ), så pendlar de om . I det här fallet kallas permutationsoperatorer även pendling [1] . I det allmänna fallet är likhet obekväm att använda som en definition av permutation, för då kommer inte ens den inversa operatorn att permutera med om den inte är definierad på hela utrymmet - då kommer operatorerna och att ha olika definitionsdomäner . Ibland använder permutationsoperatorer notationen: eller [2] [3] . $B$ $T$ $TV$ $BT$ $BT\subseteq TB$ $B$ $T$ $BT=TB$ $BT=TB$ $B^{{-1}}$ $B$ $B^{{-1}}$ $BB^{-1}$ $B^{-1}B$ $B\cup T$ $B\smile T$

Egenskaper

Om en operatör pendlar med och pendlar med så pendlar den också med och . $B$ $T_{1}$ $T_{2}$ $B$ $T_{1}+T_{2}$ $T_{1}T_{2}$
Om pendlar med och pendlar med , då operatörerna och pendlar med . $B_1$ $T$ $B_{2}$ $T$ ${\displaystyle B_{1}+B_{2))$ ${\displaystyle B_{1}B_{2))$ $T$
Om pendlar med och finns , pendlar sedan med . $B$ $T$ $T^{-1}$ $B$ $T^{-1}$
Om den är permuterbar med var och en av operatörerna , då permuterbar med . $B$ $T_{n}\,(n=1,2,\dots )$ $B$ $\lim \limits _{n\to \infty }T_{n}$
Om var och en av operatorerna pendlar med , så pendlar den med under antagandet att det är begränsat och stängt . $B_{n}\,(n=1,2,\dots )$ $T$ ${\displaystyle \lim \limits _{n\to \infty }B_{n))$ $T$ ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }B_{n))$ $T$
Om den pendlar med och den angränsande operatören finns, så pendlar den med [3] . $B$ $T$ $T^{*}$ $B^{*}$ $T^{*}$

Fallet med ett ändligt dimensionellt utrymme

I ett ändligt dimensionellt utrymme motsvarar permutationsoperatorer permutationsmatriser : . Frobenius-problemet är att bestämma alla matriser som pendlar med en given matris . Alla lösningar på Frobenius-problemet har formen $AB=BA$ $X$ $A$

X=UX_{A}U^{-1},

där är en godtycklig matris som pendlar med , är en matris som leder till den normala Jordan-formen : . Antalet linjärt oberoende lösningar av Frobenius-problemet bestäms av formeln: $X_{A}$ $A$ $U$ $A$ $J$ $A=UJU^{-1}$

N=n_{1}+3n_{2}+\dots +(2t-1)n_{t},

där är graderna av icke-konstanta invarianta polynom i matrisen . ${\displaystyle n_{1},n_{2},\dots ,n_{t))$ $i_{1}(\lambda ),i_{2}(\lambda ),\dots ,i_{t}(\lambda )$ $A$

Om linjära operatorer i ett ändligt dimensionellt utrymme är parvis permuterbara, kan hela utrymmet delas upp i delrum som är invarianta under alla operatorer : ${\displaystyle A_{1},A_{2},\dots ,A_{m))$ $R$ $R$ $A_{i}$

{\displaystyle R=I_{1}+I_{2}+\dots +I_{m))

så att det minimala polynomet för något av dessa delrum med avseende på någon av operatorerna är graden av ett irreducerbart polynom [4] . $A_{i}$

Permutationsoperatorer har alltid en gemensam egenvektor [5] . Givet en finit eller oändlig uppsättning parvis permuterbara normaloperatorer i ett enhetligt rum , då har alla dessa operatorer ett komplett ortonormalt system av gemensamma egenvektorer . När det gäller matriser betyder detta att vilken ändlig eller oändlig uppsättning av parvisa permutationsmatriser som helst kan reduceras till en diagonal form genom samma enhetliga transformation [6] . $A_{1},A_{2},\dots$

Se även

Komplett system för observerbara pendlingsobjekt

Anteckningar

↑ Gantmakher, 1966 , sid. 263.
↑ Wojciechowski, 1984 .
↑ 1 2 Riess, 1979 , s. 116.
↑ Gantmakher, 1966 , kapitel VIII, §2.
↑ Gantmakher, 1966 , sid. 245.
↑ Gantmakher, 1966 , kapitel IX, §15.

Litteratur

Voitsekhovsky M.I. Permutationsoperatorer // Matematisk uppslagsverk : [i 5 volymer] / Kap. ed. I. M. Vinogradov . - M . : Soviet Encyclopedia, 1984. - T. 4: Ok - Slo. - 1216 stb. : sjuk. — 150 000 exemplar.
Riess F. , Sökefilvi-Nagy B. Föreläsningar om funktionsanalys. — M .: Mir, 1979. — 592 sid.
Gantmakher F. R. Matrix Theory. - Ed. 2:a, ytterligare .. - M . : Nauka, Ch. ed. Phys.-Matte. lit., 1966.
Suprunenko D. A. , Tyshkevich R. I. Permutationsmatriser. - Minsk: Science and technology, 1966. - 2500 exemplar.