Reflekterande utrymme

Ett reflexivt utrymme är ett Banach-utrymme (i ett mer allmänt fall, ett lokalt konvext utrymme ) som sammanfaller med dess andra dual när det är kanoniskt inbäddat . $X$ $X^{{**}}$

Reflexiva Banach-utrymmen

Låta vara ett Banach utrymme över fältet av komplexa tal [1] , och vara utrymmet dual till , det vill säga mängden av alla kontinuerliga linjära funktionaler med normen $X$ ${{\mathbb C}}$ $X^{*}$ $X$ $f:X\to {\mathbb {C} }$

$||f||=\sup _{{||x||\leq 1}}|f(x)|$ .

Det andra dubbla utrymmet definieras som utrymmet dubbla till . När den är fixerad är mappningen en linjär kontinuerlig funktion på , det vill säga ett element i utrymmet . Därför är mappningen , , , definierad . Om det är en isomorfism av Banach-utrymmen, sägs Banach-utrymmet vara reflexivt . Ett tillräckligt villkor för detta är kartläggningens surjektivitet , det vill säga tillståndet . $X^{{**}}$ $X^{*}$ $x\i X$ $f\in X^{*}\mapsto f(x)\in {\mathbb {C} }$ $X^{*}$ $X^{{**}}$ $J_{X}:X\till X^{{**}}$ $J_{X}(x)(f)=f(x)$ $x\i X$ $f\in X^{*}$ $X$ $J_{X}:X\till X^{{**}}$ $J_{X}(X)=X^{{**}}$

Exempel

Mellanrummen och , , är reflexiva, $\ell _{p}$ $L_{p}(a,b)$ $1<p<\infty$
Utrymmen är inte reflexiva. $Cab]$ $L_{1}[a,b],L_{\infty [a,b]$

Egenskaper

Ett rum är reflexivt om och bara om det är reflexivt. $X$ $X^{*}$
Ett mellanslag X är reflexivt om och endast om enhetskulan i detta utrymme är svagt kompakt .
Ett reflexutrymme är svagt komplett . Det omvända är inte sant, det finns svagt kompletta icke-reflexiva utrymmen, till exempel . $L_{1}$
Ett slutet delrum av ett reflexivt utrymme är reflexivt.

Reflexiva lokalt konvexa utrymmen

Begreppet reflexivitet sträcker sig naturligtvis till lokalt konvexa utrymmen .

För alla lokalt konvexa utrymme , beteckna med utrymmet av kontinuerliga linjära funktionaler på utrustade med den starka topologin , det vill säga topologin för enhetlig konvergens på avgränsade mängder i . Utrymmet kallas rummets dubbla utrymme . Liksom i Banach-fallet definieras det andra dubbla utrymmet som utrymmet dubbla till . Formeln definierar en naturlig mappning av utrymmet till det andra dubbla utrymmet . $X$ $X^{*}$ $X$ $\beta (X',X)$ $X$ $X^{*}$ $X$ $X^{{**}}$ $X^{*}$ $J_{X}(x)(f)=f(x)$ $x\i X$ $f\in X^{*}$ $X$ $X^{{**}}$

Om en kartläggning är en isomorfism av lokalt konvexa utrymmen, kallas utrymmet ett reflexivt lokalt konvext utrymme . $J_{X}:X\till X^{{**}}$ $X$

Exempel:

I det speciella fallet när rummet är Banach, är dess reflexivitet som ett Banach-rum ekvivalent med dess reflexivitet som ett lokalt konvext rum. $X$
Utrymmet med släta funktioner på ett slätt grenrör är reflexmässigt. ${{\mathcal C}}^{\infty }(M)$ $M$
Utrymmet av holomorfa funktioner på ett komplext analytiskt grenrör är reflexivt. ${{\mathcal O}}(M)$ $M$

Stereotypiska rum och andra generaliseringar av reflexivitet

Bland alla lokalt konvexa utrymmen (även bland alla Banach-rum) som används i funktionsanalys är klassen av reflexiva utrymmen för smal för att bilda en självförsörjande kategori i någon mening. Idén om dualitet som reflekteras av detta koncept ger dock upphov till intuitiva förväntningar om att lämpliga förändringar i definitionen av reflexivitet kan leda till ett annat koncept som är mer bekvämt för matematikens interna syften. Ett sådant mål kan betraktas som idén att föra analys närmare andra delar av matematiken, såsom algebra och geometri , genom att omformulera analysresultaten i kategoriteorin rent algebraiska språk .

Detta program är utvecklat i teorin om stereotypa utrymmen , definierade som lokalt konvexa utrymmen som uppfyller ett liknande reflexivitetsvillkor, dock med topologin för enhetlig konvergens på totalt avgränsade mängder (istället för avgränsade mängder ) i definitionen av utrymme . I motsats till klassiska reflexutrymmen är klassen Ste av stereotypa utrymmen ganska bred (den innehåller i synnerhet alla Fréchet-utrymmen och därför alla Banach-utrymmen ), den bildar en sluten monoidal kategori och den tillåter standardoperationer (definierad inom Ste ) av att konstruera nya utrymmen såsom att ta ett slutet delrum, ett separerbart kvotutrymme, projektiva och injektiva gränser, operatorutrymmen, tensorprodukter, etc. Kategorin Ste har tillämpningar i dualitetsteorin för icke-kommutativa grupper. $X^{*}$

På liknande sätt kan man ersätta klassen av avgränsade (och helt avgränsade) delmängder i definitionen av det dubbla rummet med andra klasser av delmängder, till exempel klassen av kompakta delmängder i - utrymmena som definieras av motsvarande reflexivitetsvillkor kallas reflekterande [ 2] [3] , och de bildar en ännu bredare klass än Ste , men det är okänt (2012) om denna klass bildar en kategori med egenskaper nära Ste . $X$ $X^{*}$ $X$

Litteratur

Shefer H. Topologiska vektorrum. M.: Mir, 1971.
Dunford N., Schwartz J., Linjära operatorer, del 1 — Allmän teori, övers. från English, M., 1982;
Yosida K., Funktionsanalys, övers. från English, M., 1967;
Kantorovich L. V. , Akilov G. P. , Funktionsanalys, 1:a upplagan, M., 1977.
Trenogin V. A. Funktionsanalys. — M .: Nauka , 1980 . — 495 sid.
Funktionsanalys / redaktör S. G. Kerin . — 2:a, reviderad och kompletterad. — M .: Nauka , 1972 . — 544 sid. — (Referens matematiskt bibliotek).

Peach A. Nukleära lokalt konvexa utrymmen. — M .: Mir , 1967 .

Anteckningar

↑ ...eller över fältet för reella tal med en liknande definition. $\mathbb {R}$
↑ Garibay Bonales, F.; Trigos-Arrieta, FJ, Vera Mendoza, R. En karakterisering av Pontryagin-van Kampens dualitet för lokalt konvexa rum // Topologi och dess tillämpningar : journal. - 2002. - Vol. 121 . - S. 75-89 .
↑ Akbarov, SS; Shavgulidze, ET Om två klasser av utrymmen reflexiv i betydelsen Pontryagin (engelska) // Mat. Sbornik: dagbok. - 2003. - Vol. 194 , nr. 10 . - S. 3-26 .