Transponeringsmatris

Den aktuella versionen av sidan har ännu inte granskats av erfarna bidragsgivare och kan skilja sig väsentligt från versionen som granskades den 28 december 2021; verifiering kräver 1 redigering .

En transponeringsmatris ( -matris) är en kvadratisk matris med storlek ( , ), vars element erhålls från elementen i en given -dimensionell vektor med formeln: $Tr$ $n\ gånger n$ ${\displaystyle n=2^{m))$ $m\in N$ $n$ $X=(x_{i})$

{\displaystyle Tr(X)_{i,j}=x_{(i-1)\oplus (j-1)+1))

där symbolen anger den bitvisa operationen " addition modulo 2 ". Raderna och kolumnerna i en transpositionsmatris är permutationer av vektorn ; varje rad och kolumn innehåller alla element i vektorn utan upprepning. -matrisen är bisymmetrisk : och för alla och . $\ plus$ $X$ $Tr(X)$ $X$ $Tr$ $Tr_{i,j}=Tr_{j,i})$ ${\displaystyle Tr_{i,j}=Tr_{n-j+1,n-i+1))$ $i$ $j$

Till exempel, transpositionsmatrisen som erhålls från en vektor: $Tr(X)$

X={\begin{pmatrix}x_{1},x_{2},x_{3},x_{4},x_{5},x_{6},x_{7},x_{8} \\\end{pmatrix}}

ser ut som:

Tr(X)={\begin{pmatrix}x_{1}&x_{2}&x_{3}&x_{4}&|&x_{5}&x_{6}&x_{7}&x_{8}\\ x_{2}&x_{1}&x_{4}&x_{3}&|&x_{6}&x_{5}&x_{8}&x_{7}\\x_{3}&x_{4}&x_{1}&x_{ 2}&|&x_{7}&x_{8}&x_{5}&x_{6}\\x_{4}&x_{3}&x_{2}&x_{1}&|&x_{8}&x_{7}&x_{ 6}&x_{5}\\-&-&-&-&|&-&-&-&-\\x_{5}&x_{6}&x_{7}&x_{8}&|&x_{1}&x_ {2}&x_{3}&x_{4}\\x_{6}&x_{5}&x_{8}&x_{7}&|&x_{2}&x_{1}&x_{4}&x_{3}\\x_ {7}&x_{8}&x_{5}&x_{6}&|&x_{3}&x_{4}&x_{1}&x_{2}\\x_{8}&x_{7}&x_{6}&x_{5 }&|&x_{4}&x_{3}&x_{2}&x_{1}\\\end{pmatrix}}

Egenskapen för fyrdubblar

Ett godtyckligt par av rader, rader (eller kolumnpar) i transponeringsmatrisen innehåller fyra av elementen med lika värden för de diagonala elementen. Till exempel, om och är två slumpmässigt utvalda element från en kolumn i matrisen , innebär denna egenskap att -matrisen innehåller fyra av de element för vilka ekvationerna och är uppfyllda . Den här egenskapen "property of fours" är specifik för -matriser. $n/2$ ${\displaystyle Tr_{p,q))$ ${\displaystyle Tr_{u,q))$ $q$ $Tr$ $Tr$ $(Tr_{p,q},Tr_{u,q},Tr_{p,v},Tr_{u,v})$ ${\displaystyle Tr_{p,q}=Tr_{u,v))$ ${\displaystyle Tr_{u,q}=Tr_{p,v))$ $Tr$

Transponeringsmatris med ömsesidigt ortogonala rader

Egenskapen fyror gör att man kan få en matris med ömsesidigt ortogonala rader från en transponeringsmatris genom att ändra tecknet för ett udda antal element i var och en av fyrorna , . Det finns en algoritm för att konstruera en -matris med den komponentvisa produkten av en matris och en -dimensionell Hadamard-matris , vars rader (förutom den första) är permuterade på ett sådant sätt att raderna i den resulterande matrisen är ömsesidigt ortogonala : $Tr$ $Trs$ $(Tr_{p,q},Tr_{u,q},Tr_{p,v},Tr_{u,v})$ $p,q,u,v\in [1,n]$ $Trs$ $Tr$ $n$ $H=(h_{ij})$ $Trs$

Trs(X)=Tr(X)\circ H(R)

{\displaystyle Trs.{Trs}^{T}=\parallel X\parallel ^{2}.I_{n))

var:

" " - produkten av Hadamard,

\cirkel

I}

är identitetsmatrisen,

H(R)

- -dimensionell Hadamard-matris med radpermutation , som ändrar tecknet för ett udda antal element i var och en av fyrorna;

n

R=[1,r_{2},...r_{n}]^{T},r_{2},...r_{n}\in [2,n]

X

är vektorn från vilken elementen i matrisen härleds .

Tr

Radordningen för Hadamard-matrisen erhölls experimentellt för matriser av storlekarna 2, 4 och 8. Radordningen för Hadamard-matrisen (i förhållande till Sylvester-Hadamard-matrisen) beror inte på vektorn . Det bevisades [1] att om är en enhetsvektor ( ), då . $R$ $Trs$ $R$ $X$ $X$ $\parallel X\parallel =1$ $det(Trs)=-1$

Ett exempel på att erhålla Trs-matrisen

En transponeringsmatris med ömsesidigt ortogonala rader vid , erhålls från en vektor med formeln: $Trs(X)$ $n=4$ $X={\begin{pmatrix}x_{1},x_{2},x_{3},x_{4}\\\end{pmatrix))$

Trs(X)=H(R)\circ Tr(X)={\begin{pmatrix}1&1&1&1\\1&-1&1&-1\\1&-1&-1&1\\1&1&-1&-1\\\ end{pmatrix}}\circ {\begin{pmatrix}x_{1}&x_{2}&x_{3}&x_{4}\\x_{2}&x_{1}&x_{4}&x_{3}\\x_ {3}&x_{4}&x_{1}&x_{2}\\x_{4}&x_{3}&x_{2}&x_{1}\\\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}x_{ 1}&x_{2}&x_{3}&x_{4}\\x_{2}&-x_{1}&x_{4}&-x_{3}\\x_{3}&-x_{4}&- x_{1}&x_{2}\\x_{4}&x_{3}&-x_{2}&-x_{1}\\\end{pmatrix}}

där är matrisen erhållen från vektorn , H(R) är Hadamard-matrisen med radförskjutning i den givna ordningen R, för vilken raderna i den resulterande matrisen Trs är ömsesidigt ortogonala. Den första raden i den resulterande matrisen innehåller elementen i vektorn utan permutationer och teckenändringar. Med tanke på att matrisraderna är ömsesidigt ortogonala: $Tr(X)$ $Tr$ $X$ $Trs(X)$ $X$ $Trs$

{\displaystyle Trs(X).X=\parallel X\parallel ^{2}.[1,0,0,0]^{T))

därför roterar matrisen vektorn från vilken den är härledd i axelns riktning . Radordningen för Hadamard-matrisen beror inte på vektorn . Matrisgenereringsexempel har publicerats för . Det är fortfarande en öppen fråga om det är möjligt att skapa Trs-matriser med storlek större än 8. $Trs$ $X$ $x_{1}$ $R$ $X$ $Tr$ $Trs$ $n=2,4,8$

Anteckningar

↑ Zhelezov OI Bestämning av ett specialfall av symmetriska matriser och deras tillämpningar. Aktuella ämnen om matematik och datavetenskap Vol. 6, 29-45 ISBN= 978-93-91473-89-1

Litteratur

Bellman R. Introduktion till matristeori . — M .: Mir, 1969 (djvu).
Gantmakher F. R. Matrix Theory. - 5:e uppl. - M. : Fizmatlit, 2004. - 560 sid. - ISBN 5-9221-0524-8 .; (2:a upplagan). — M. : Nauka, 1966 (djvu) .
Golub J. (Gene H. Golub), Van Lone Ch. (Charles F. Van Loan) Matrisberäkningar. — M .: Mir, 1999. — 548 sid. — ISBN 5-03-002406-9
Kurosh A. G. Kurs i högre algebra. - 9:e uppl. - M . : Nauka, 1968. - 432 sid.

Länkar

http://article.sapub.org/10.5923.j.ajcam.20190904.03.html

Vektorer och matriser

Vektorer

Grundläggande koncept	Vektor i geometri Grund Ortogonal grund Vektorkoordinater Kolinearitet Ortogonalitet Linjärt beroende Kolumnutrymme
Typer av vektorer	Enhet vektor Axiell vektor isotrop vektor Vanligt Kolinearitet Noll vektor Radie vektor Egenvektor
Operationer på vektorer	Skalär produkt vektor produkt blandad produkt Pseudoskalär produkt Dubbelkorsprodukt
Utrymmestyper	vektor utrymme affint utrymme Euklidiskt utrymme Pseudo-euklidiskt utrymme Normerat utrymme Minkowski utrymme

matriser

Grundläggande koncept	Matrismultiplikation Transponerad matris Hermitisk konjugatmatris Symmetrisk matris invers matris Eget värde Karakteristiskt polynom för en matris
Specialmatriser	Identitetsmatris Noll matris Diagonal matris lambda matris
Matrisnedbrytningar	LU-nedbrytning Cholesky nedbrytning QR-sönderdelning LUP-nedbrytning singulärvärdesfaktorisering Spektral nedbrytning av en matris

Övrig