Gräsman

En Grassmann-grenrör eller en Grassmann med en linjär dimensionsrymd är ett grenrör som består av dess -dimensionella delrum. Betecknas eller eller . I synnerhet är mångfalden av linjer i utrymmet , sammanfaller med det projektiva utrymmet . Uppkallad efter Hermann Grassmann . $V$ $n$ $sid$ $\mathbf {Gr} _{p}(V)$ $\mathbf {Gr} (p,n)$ $\mathbf {Gr} (p,V)$ $\mathbf {Gr} _{1}(\mathbb {R} ^{n})$ $\mathbb {R} ^{n}$ ${\displaystyle \mathbb {R} \mathbb {P} ^{n-1))$

Det finns en naturlig projektiv parametrisering på Grassmannan (koordinaterna definieras upp till multiplikation med en konstant). Motsvarande koordinater kallas Plücker-koordinater . De definierar en investering . Algebraiska relationer på Plücker-koordinater som definierar bilden av en inbäddning i ett projektivt utrymme kallas Plücker-relationer . ${\displaystyle \mathbf {Gr} (p,n)\subset \mathbf {P} ^{{n \choose p}-1))$

Bevis

Grassmannen kan förses med följande atlas . $\mathbf {Gr} _{p}(V)$

Låta vara ett dimensionellt delrum av . Låt oss introducera den skalära produkten i vektorrummet och beteckna den med det ortogonala komplementet . $\Pi \in \mathbf {Gr} _{p}(V)$ $sid$ $V$ $V$ ${\displaystyle \Pi ^{\perp ))$ $\Pi$

Sedan kan varje dimensionellt delrum nära nog identifieras med en linjär mappning om varje vektor representeras som en summa , var och , och lägg . $\Pi \oplus \Pi ^{\perp }=V$ $sid$ $\Pi '$ $\Pi$ ${\displaystyle A:\Pi \to \Pi ^{\perp ))$ $a\in \Pi '$ $a=x+y$ $x\in \Pi$ ${\displaystyle y\in \Pi ^{\perp ))$ $A(x)=y$

Sedan mappas området för punkten en-till-en på någon öppen delmängd av utrymmet för linjära mappningar . Den konstruerade atlasen gör den till en analytisk mångfald av dimensioner , där . $\Pi \in \mathbf {Gr} _{p}(V)$ ${\mathcal {L}}(\Pi ,\Pi ^{\perp })$ $\mathbf {Gr} _{p}(V)$ $p(np)$ $n=\dim V$

För att visa vad som är en projektiv algebraisk varietet måste man använda Plücker-relationerna , som är homogena algebraiska ekvationer av andra graden. $\mathbf {Gr} _{p}(V)$

Egenskaper

Den Grassmannian är en projektiv algebraisk variation av dimension , där . Följaktligen, om är ett komplext utrymme, så är Grassmannian en komplex algebraisk variant. $\mathbf {Gr} _{p}(V)$ $p(np)$ $n=\dim V$ $V=\mathbb {C} ^{n}$
Ordningskonen Grassmann är uppsättningen av nedbrytbara element av extern grad , det vill säga -former, representerade som en produkt av 1-former. Projektiviseringen av ordningskonen Grassmann sammanfaller med . $sid$ $\wedge ^{p}V$ $sid$ $sid$ $sid$ $\mathbf {Gr} _{p}(V)$

På grund av den naturliga isomorfismen av -former och -former, sammanfaller de Grassmanniska mångfalden av ordning och reda. $sid$ $(np)$ $sid$ $np$

Den verkliga Grassmannian kan representeras som ett homogent utrymme av en ortogonal grupp .

\mathbf {Gr} (k,\mathbb {R} ^{n})=O(n)/\left(O(k)\ gånger O(nk)\right)

På liknande sätt motsvarar det komplexa Grassmannian den enhetliga gruppen .

\mathbf {Gr} (k,\mathbb {C} ^{n})=U(n)/\left(U(k)\ gånger U(nk)\right)

. Dessa relationer innebär att ett linjärt delrum av det euklidiska rummet kan specificeras genom att välja en ortonormal bas i det omgivande rummet , vars första vektorer utgör en bas i . En sådan parametrisering är inte unik, olika val av basen är möjliga både i sig och i dess ortogonala komplement. Elimineringen av denna godtycklighet motsvarar att ta faktorgruppen .

W

\dim W

W

W

Celldelning

Grassmannian är ett cellulärt utrymme . Motsvarande celldelning kallas Schubert-cellen . Den är byggd enligt följande. Vi väljer en bas i det omgivande rummet . Till ett givet k -dimensionellt delrum associerar vi en uppsättning tal ( Schubert-symbolen ) enligt regeln $\{e_{1},\dots ,e_{n}\}$ $V$ ${\displaystyle s_{1,\dots ,k))$

s_{i}=\min\{p\in \{1,\dots ,n\}\vert \dim \left(V\cap \left\langle e_{1},\dots ,e_{p }\right\rangle \right)=i\},\qquad i=1,\dots ,k

Här är delutrymmet som sträcks av de första vektorerna av basen. Uppsättningen av alla delrum med givna värden är homeomorf till en cell vars dimension är . För en komplex Grassmannian är alla celler komplexa utrymmen, så det finns icke-triviala celler endast i jämna dimensioner. Som en konsekvens har homologin för komplexet Grassmannian formen $\left\langle e_{1},\dots ,e_{p}\right\rangle$ $sid$ ${\displaystyle s_{1,\dots ,k))$ $(s_{1}-1)+(s_{2}-2)+\dots +(s_{n}-n)$

H_{m}(\mathbf {Gr} (k,n))={\begin{cases}0,\;m=2l+1\\\mathbb {Z} ^{d(k,l) },\;m=2l\end{cases}}

Här är antalet distinkta Schubert-symboler i den (komplexa) dimensionen . $d(k,n)$ $l$

Generaliseringar

Variationen av alla ortonormala k -ramar i kallas Stiefel-varianten . Den har den naturliga strukturen av en lokalt trivial bunt vars fiber är den ortogonala gruppen : $\mathbb {R} ^{n}$ $V_{k}(\mathbb {R} ^{n})$

O(k)\to V_{k}(\mathbb {R} ^{n})\to \mathbf {Gr} _{k}(\mathbb {R} ^{n})

I synnerhet , .

V_{n-1}(\mathbb {R} ^{n})\simeq SO_{n},

V_{n}(\mathbb {R} ^{n})\simeq O_{n},

Litteratur

Vinberg E. B. Algebrakurs. - 3:e upplagan - M . : Factorial Press, 2002. - 544 sid. - 3000 exemplar. — ISBN 5-88688-060-7 . .

Zelikin M. I. Homogena utrymmen och Riccati-ekvationen i variationskalkylen, - Facttorial, Moskva, 1998.
Shafarevich I. R. , Remizov A. O. Linjär algebra och geometri, Fizmatlit, Moskva, 2009.