Homogent utrymme

Ett homogent utrymme kan informellt beskrivas som ett utrymme där alla punkter är lika , det vill säga det finns en rymdsymmetri som tar vilken punkt som helst till en annan. Definitionen är ganska generell och har flera varianter. Homogent utrymme inkluderar utrymmen med klassisk geometri som euklidiskt utrymme , Lobachevsky-utrymme , affint utrymme , projektivt utrymme och andra.

Definition

Ett homogent utrymme är en mängd X med en distingerad transitiv verkan av gruppen G .

Elementen i X kallas punkter i det homogena rummet.
Elementen i G kallas rymdsymmetrier , och själva gruppen G kallas gruppen av rörelser eller grundgruppen i ett homogent rum.
En undergrupp som fixar ett element kallas en stabilisator . $H_{x}<G$ $x\i X$ $x$
Om en uppsättning X är försedd med en ytterligare struktur, såsom en metrisk , topologi eller jämn struktur , antas åtgärden av G vanligtvis bevara den strukturen. Till exempel, i fallet med ett mått, antas åtgärden vara isometrisk . På liknande sätt, om X är ett jämnt grenrör , då är elementen i gruppen diffeomorfismer .

Alla stabilisatorer är konjugerade undergrupper.
Ett homogent utrymme med en grundgrupp G kan identifieras med de vänstra coseten av stabilisatorn H . I detta fall genererar den vänstra åtgärden av G på sig själv en åtgärd på coset-utrymmet G/H .

Metriska mellanslag

Euklidiskt utrymme med isometrigruppaktion; stabilisatorn för denna åtgärd är gruppen av ortogonala transformationer. $\mathbb {E} ^{n}$ $\mathrm {O} (n)$
Standardsfär med följande åtgärder: ${\mathbb {S}}^{n}$
- Grupper av ortogonala transformationer ; stabilisatorn för denna verkan är isomorf för gruppen . $\mathrm {O} (n)$ $\mathrm {O} (n-1)$
- Grupper - en speciell ortogonal grupp; stabilisatorn för denna verkan är isomorf för gruppen . ${\mathrm {SO}}(n)$ $\mathrm {SO} (n-1)$
Lobachevsky rymden med handlingen av Lorentz-gruppen .
Gräsman : . $\mathrm {Gr} (r,n)=\mathrm {O} (n)/(\mathrm {O} (r)\times \mathrm {O} (nr))$

Övrig

Affint utrymme (för affin grupp , punktstabilisator för den fullständiga linjära gruppen ): . $\mathbf {A} ^{n}=\mathrm {Aff} (n,K)/\mathrm {GL} (n,k)$
Topologiska vektorrum (i topologisk mening).
Antidesitter utrymme : . $\mathrm {AdS} _{n+1}=\mathrm {O} (2,n)/\mathrm {O} (1,n)$

Ett metriskt utrymme sägs vara punktvis homogent om den isometriska mappningen av -punktsvisa delmängder av in kan utökas till en isometri $X$ $n$ $n$ $K\delmängd X$ $X$ $X$
Ändligt homogena, räknat homogena, kompakta homogena utrymmen och så vidare definieras på liknande sätt.
Det dubbla kvotutrymmet är kvoten för gruppen genom att undergruppen agerar till höger och vänster. $G/\!/H$ $G$ $H<G\times G$ $G$
Prehomogena vektorrum är ett ändligt dimensionellt vektorrum V med en algebraisk gruppverkan G så att det finns en bana G som är öppen i Zariski-topologin (och därför tät). Ett exempel är gruppen GL(1) som verkar i endimensionell rymd . Idén om pre-homogena vektorutrymmen föreslogs av Mikio Sato .

L. D. Landau, E. M. Lifshits. Teoretisk fysik. I 10 volymer. - M . : "Nauka", 1988. - T. 2. - ISBN 5-02-014420-7 .
Steve Weinberg . Gravitation och kosmologi (engelska) . — John Wiley and Sons, 1972.
John Milnor , James D. Stasheff. Karakteristiskaklasser . - Princeton University Press , 1974. - ISBN 0-691-08122-0 .
Takashi Koda. En introduktion till geometrin hos homogena utrymmen . — Kyungpook National University.
Menelaos Zikidis. Homogena utrymmen . — Heidelbergs universitet.
Shoshichi Kobayashi , Katsumi Nomizu . kapitel X // Differentialgeometrins grunder . - Wiley Classics Library, 1969. - Vol. 2.